【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 1 1BI ? ? ?? ? ?（ DL ） A= （ DL ） UG ， f= （ DL ） b. GaussSeidel 迭代法的分量計(jì)算公式 為 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 GaussSeidel 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( 1 ) ( )11 ( 1 , 2 , , ) .ink k kii i i ij j ij jj j ia x b a x a x i n???? ? ?? ? ? ??? 因此 GaussSeidel 迭代法計(jì)算公式為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( 1 ) ( )11( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , 。 0 , 1 , )Tnink k ki i ij j ij j iij j ix x xx b a x a x ai n k???? ? ?? ???? ? ???? ????? （ ） GaussSeidel 迭代法算法為 10 011 2 12 1 22 1 212121[ 1 ]0 。 1 。 0( ! 1 )()[ ][ ] * [ ]()[ ][ ] * [ ][ ] ( [ ][ 1 ] ) / [ ][ ]。0 , 0( ( [ ] [ ]) ( 1 0 , 6 ))1[]x x nb k N te mpw h ile b kif j ite mp a i j x j te mpif i jte mp a i j x j te mpx i a i n te mp te mp a i ite mp te mpif fa b s x i x i p o wbkxi? ? ?? ? ????????? ? ? ???? ?? ???初 值21[]1[]1xiNNx x iN???? 運(yùn)用附錄中的程序 2 求解下列線性方程組 。 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 0 02 10 01 3 10M D L????? ? ? ? ????? 0 3 10 0 30 0 0NU??????? ? ??? 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 則高斯 塞德?tīng)柕綖? 11 1 ( ) ( )1 2 31 ( ) ( )2 1 31 ( ) ( )3 1 2(14 3 ) / 10( 5 2 3 ) / 10(14 3 ) / 10k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? 運(yùn)行程序后，結(jié)果 經(jīng)過(guò) 9 次迭代后求得 ( 00 , 00 , 00) Tx ? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過(guò) 11 次迭代后求得 ( 4 .0 0 0 0 , 3 .0 0 0 0 , 2 .0 0 0 0 ) Tx ?? . 例 用 GaussSeidel 迭代法解線性方程組 Ax b? 其中 9920 1 1 1 01 20 0 0 11 0 20 0 10 0 01 0 0 20 10 1 1 1 20A?? ? ???????? ??????? ? ??? 1 2 9( , )Tx x x x? , ( 2 ,1 8 ,1 8 1 8 , 2 ) Tb ? ? ?. 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過(guò) 5 次迭代后求得： ( 341 , 229 229 , 230 ) Tx ? . 對(duì) 例 、 例 、例 、例 、例 、例 迭代結(jié)果的比較結(jié)果如下 12 表 Jacobi 法與 GaussSeidel 法結(jié)果比較 迭代方法 題號(hào) 系數(shù)矩陣類(lèi)型 迭代次數(shù) Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 16 Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 24 Jacobi 法 例 稀疏矩陣 8 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 9 GaussSeidel 法 例 不規(guī)則矩陣 11 GaussSeidel 法 例 稀疏矩陣 5 由 表 可以 知道 當(dāng)用 Jacobi 法和 GaussSeidel 法求解線性方程組時(shí)，Jacobi法 一般 比 GaussSeidel 法收斂的要慢（因?yàn)檫_(dá)到同樣的精度時(shí) Jacobi 所需的迭代次數(shù)要多）；且求解一般矩陣時(shí)所需的迭代次數(shù)比稀 疏矩陣要多。 逐次超松馳迭代法 取分裂矩陣 M 為帶參數(shù)的下三角陣 1 ()M D L????,其中 0?? 為可選擇的松馳因子。 由（ ）可構(gòu)造一個(gè)迭代法，其迭代矩陣為 11()( ) ( (1 ) ) ,L I D L AD L D U? ??? ? ???? ? ?? ? ? ? 從而得到逐次超松馳迭代法（ Successive Over Relaxation 簡(jiǎn)稱 SOR 法） ( 0 )( 1 ) ( )() ( 0 , 1 ) ,kkxx L x f k?????? ? ??? 初 始 向 量 () 其中 11( ) ( ( 1 ) ) , ( )L D L D U f D L b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?． SOR 迭代法的分量計(jì)算公式為 13 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , )k k k k Tinx x x x? ． 由（ ）式可得 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1( ( 1 , 2 , , )ink k k ki i i i i i i i j j i j jj j ia x a x b a x a x i n??????? ? ? ? ???． 因此 SOR 法的計(jì)算公式 為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1( , ) ,(/( 1 , 2 , 0 , 1 )Tnink k k ki i i ij j ij j iij j ix x xx x b a x a x ai n k???????? ??? ? ? ? ???? ???????為 松 弛 因 子 () 從上面公式可以看出當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法等價(jià)于 GaussSeidel 法。 SOR 迭代法算法為 14 011 2 12 1 22 1 1 21212[ 1 ]( 0 , 2)0 。 1 。 0( ! 1 )()[ ] [ ] * [ ]()[ ] [ ] * [ ][ ] [ ] * ( [ ] [ 1 ] ) / [ ] [ ] 。0 , 0( ( [ ] [ ] )x x nbk N t e mpw hi l e bki f j it e mp a i j x j t e mpi f i jt e mp a i j x j t e mpx i x i a i n t e mp t e mp a i it e mp t e mpi f f abs x i x i p??? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ???? ??初 值松 弛 因 子 取121( 10 , 6) )1[ ] [ ]1[]1owbkx i x iNNx x iN??????? 運(yùn)用附錄中的程序 3 求解下列線性方程組 。 例 用 SOR 法解方程組（分別取 ? =， ? =， ? =， ? =1， ? =3） 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 001 1 0( ) 2 01013M D L???????????? ? ? ? ????????? 0 3 1( ) 2 0 31 3 0N L U??????? ? ? ? ????? 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????.則雅可比迭代公式為 15 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )3 3 1 2 3( 14 10 3 ) / 10( 5 10 3 ) / 10( 14 3 10 ) / 10k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xx x x x xx x x x x??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 運(yùn)行程序后得 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過(guò) 14 次后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，. 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過(guò) 8 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當(dāng) ? = 時(shí)，經(jīng)過(guò) 10 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當(dāng) ? =1 時(shí)，經(jīng)過(guò) 9 次迭代后為 ( 00 , 00 , 00) Tx ? , 當(dāng) ? =3 時(shí)迭代不收斂。 例 用 SOR 法解方程組 （分別取 ? =， ? =， ? =1， ? =， ? =） 1 2 31 2 31 2 35 2 124 2 202 3 10 3x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 設(shè) (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 運(yùn)行程序后得 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過(guò) 14 次后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? = 時(shí)， 經(jīng)過(guò) 10 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? =1 時(shí)，經(jīng)過(guò) 11 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 16 當(dāng) ? = 時(shí)，經(jīng)過(guò) 25 次迭代后為 ( 000 .00 00 .00 00) Tx ?? ， 3 ， 2. 當(dāng) ? = 時(shí)迭代不收斂。 綜合例 、例 、以及例 、例 的迭代結(jié)果比較如下 表 SOR 法和 GaussSeidel 法迭代結(jié)果比較 題號(hào) ? 的取值 迭代次數(shù) 題號(hào) ? 的取值 迭代次數(shù) 例 ? =3 不收斂 例 ? = 不收斂 ? = 14 ? = 14 ? =1 9 ? =1 11 ? = 10 ? = 10 ? = 8 ? = 25 題號(hào) 迭代方法 迭代次數(shù) 題號(hào) 迭代方法 迭代次數(shù) 例 GaussSeidel 法 9 例 GaussSeidel 法 11 從上表 可以看出，松弛因子 ? 的選擇對(duì) SOR 迭代法的收斂速度有比較大的影響。當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法與 GaussSeidel 法迭代次數(shù)一樣，因此也就驗(yàn)證了：當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法等價(jià)于 GaussSeidel 法；且當(dāng) 2?? 時(shí) SOR 迭代法不收斂。 基本迭代法的收斂性 例 [12] 方程組 1 2 31 2 31 2 31 0 2 7 .21 0 2 8 .32 2 1 0 8 .4x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? 的精確解為 * ( , , )Tx ? . 把方程組化為 17 1 2 32 1 33 1 20.