【正文】 為對稱 矩陣時收斂速度也會比一般矩陣稍快。 設 0( 1, 2, , )iia i n?? ，并將 A 分為三部分 ,A D L U? ? ? （ ） 其中 5 1122 ,nnaaDa????????? 211 ,1 1 , 2,1 , 2 , 100,00nnn n n naLaaa a a?????????????? ? ??? 1 , 2 1 , 1 1 ,2 , 1 2 ,1,00.00nnnnnna a aaaUa???? ? ????????????? 雅可比法 取 M 為 A 的對角元素部分，即取 MD? ， A D N?? ,由 ()式得雅可比 (Jacobi)迭代法 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1( ) ,B I D A D L U J f D b? ? ?? ? ? ? ? ?. Jacobi 迭代法（ ）的分量計算公式 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 Jacobi 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( ) ( )11 ( 1 , 2 , , )ink k kii i ij j ij j ij j ia x a x a x b i n??? ? ?? ? ? ? ???. 因此 Jacobi 迭代法的計算公式為 6 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1( 1 ) ( )1( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , ) ( 0 , 1 , ) .Tnnkki i ij j iijjix x xx b a x ai n k???? ??????????????表 示 迭 代 次 數(shù) （ ） Jacobi 迭代法算法為 011212121[ 1 ]0 。 本文主要利用各迭代法的迭代公式得到它們的算法，然后利用算法編寫出各迭代法的程序，用程序分別對各迭代法進行數(shù)值實驗和驗證，通過對數(shù)值實驗結果的分析比較，總結出各迭代法的某些特點，為求解具體問題提供參考。隨著計算技術的發(fā)展，計算機的存儲量增大，計算速度加快；迭代法計算存儲單元少、程序設計簡單、原始系數(shù)矩陣在計算過程中始終不變等優(yōu)點在計算中也凸顯出來 ； 其中 雅可比迭代 法、 高斯 塞德爾迭代 法、 逐次超松弛迭代法等 是比較常用的基本迭代法 ； Krylov 子空間方法在求解大型稀疏矩陣有著與眾不同的有效性，當矩陣是對稱正定時，常用的有遞推的共軛梯度法。 Successive Over Relaxation method and Conjugate Gradient methods and so on. Conclusion will be conducted by using some relative examples to validate the iterative method and its convergence. Convergence and convergent rate the main affecting factors for the iterative solution of linear system. This paper will discuss the problem of convergence theoretically and then summarize some characteristics of iterative method by numerical experiments, so it can provides a reference for solution of some concrete problems in the future. II Key words Iterative method。線性方程組的求解主要有直接法和迭代法兩種，本文主要討論了求解線性方程組的重要方法 迭代法中的幾種比較常用的方法；如雅可比迭代法、高斯 塞德爾迭代法、逐次超松弛迭代法和共軛梯度迭代法等；文中將會利用相關例題對迭代法及其收斂性進行驗證實驗。 除文中已經注明引用的內容外，論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。新算法包括可以設計新的加速因子； (3) 對于所設計的算法，進行收斂性分析，并希望能夠得到局部收斂性； (4) 算法的數(shù)值實例驗證，通過編程運行結果，針對不同類型的方程組分別加以驗證算法的穩(wěn)定性、局部收斂性等等； (5) 進行 結果分析。針對不同類型的線性方程組，課題將進行分析、并利用迭代法存儲單元少、原始系數(shù)矩陣在計算過程中不變等優(yōu)點設計簡單的迭代算法，并編寫各迭代法的程序；然后對各迭代法進行了數(shù)值實驗，從理論上對基本迭代法的收斂性和收斂速度進行了分析 。并借助計算機的運算速度快的優(yōu)勢，以及迭代法適合計算機求解的優(yōu)點，編寫出各迭代法的程序，然后對各迭代法進行數(shù)值實驗找出某一種迭代法的某些特點，為求解 實際問題提供參考和幫助。其中重點弄清楚一些常用的迭代法：雅可比迭代法、高斯 塞德爾迭代法、逐次超松弛法和共軛梯度法的迭代原理及算法，并利用迭代法存儲單元少、原始系數(shù)矩陣在計算過程中不變等優(yōu)點編寫了各迭代法的程序；然后對各迭代法進行了數(shù)值實驗，從理論上對基本迭代法的收斂性和收斂速度進行了分析。 主要參考資料 : [1] 李慶揚，王能超，易大義 .數(shù)值分析 [M].北京：清華大學出版社，施普林格出版社， 2020. [2] 徐長發(fā)，王邦 .實用計算方法 [M].武漢 .： 華中科技大學出版社， 2020. [3] 宋兆基，徐流美等著 . 在科學計算中的應用 [M].北京：清華大學出版社， 2020. [4] 周鐵，徐樹方等編著 . 計算方法 [M].北京：清華大學出版社， 2020. [5] 汪仲文 .解線性方程組的迭代方法之比較 [J].喀什師范學院學報 .第 29 卷 .第 6 期 .2020. [6] 李愛芹 .線性方程組的迭代解法 [J].科學技術與工程 .第 7 卷 .第 14 期 .2020. [7] 徐萃薇，孫繩武 .計算方法引論 [M].北京：高等教育出版社， 2020. [8] 楊萬利等編 .數(shù)值分析教程 [M].北京：國防工業(yè)出版社， 2020. 畢業(yè)論文（設計）工作計劃： 2020． 11— 2020． 12 接收任務，完成開題報告 2020． 12— 2020． 4 查閱論文所需的資料和文獻并進行論文的撰寫工作 2020． 4— 2020． 5 在指導老師的指導下修改、完善論文 2020． 5 完成并提交論文的定稿，為論文答辯做好準備 接收任務日期 年 月 日 要求完成任務日期 年 月 日 學 生 （簽名） 年 月 日 指 導 教 師 （簽名） 年 月 日 系 主 任 （簽名） 年 月 日 說明：本表為學生畢業(yè)論文（設計）指導性文件，由指導教師填寫，一式兩份，一份交系（部）存檔備查，一份發(fā)給學生。 二、課題的主要內容： 對于線性方程組的求解，如果是小規(guī)模問題，則可以用代入消元法進行簡單的求解。這是本文的主要內容規(guī)劃。 四、完成期限和預期進度： 1. 接到任務以后，開始收集整理資料，為開題做準備。對 論 文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確的方式標明。收斂性及收斂速度是影響迭代法求解線性方程組的主要因素，本文將從理論上對收斂性問題進行討論； 然后通過數(shù)值實驗歸納某些迭代法的一些特點 ，為 今后某些 具體問題的求解提供參考。 linear equations。當矩陣不對 稱時，常用的方法有完全正交化法和廣義極小剩余法。 4 2 基本迭代法 設有 ,Ax b? （ ） 其中， nnAR?? 為非奇異矩陣。 1 。 高斯 塞德爾迭代法 取分裂矩陣 M 為 A 的下三角部分，即 M D L??, A M N??,于是由 （ ） 式得高斯 塞德爾 (GaussSeidel)迭代法 9 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1BI ? ? ?? ? ?（ DL ） A= （ DL ） UG ， f= （ DL ） b. GaussSeidel 迭代法的分量計算公式 為 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 GaussSeidel 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( 1 ) ( )11 ( 1 , 2 , , ) .ink k kii i i ij j ij jj j ia x b a x a x i n???? ? ?? ? ? ??? 因此 GaussSeidel 迭代法計算公式為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( 1 ) ( )11( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , 。0 , 0( ( [ ] [ ]) ( 1 0 , 6 ))1[]x x nb k N te mpw h ile b kif j ite mp a i j x j te mpif i jte mp a i j x j te mpx i a i n te mp te mp a i ite mp te mpif fa b s x i x i p o wbkxi? ? ?? ? ????????? ? ? ???? ?? ???初 值21[]1[]1xiNNx x iN???? 運用附錄中的程序 2 求解下列線性方程組 。 SOR 迭代法算法為 14 011 2 12 1 22 1 1 21212[ 1 ]( 0 , 2)0 。 例 用 SOR 法解方程組（分別取 ? =， ? =， ? =， ? =1， ? =3） 1 2 31 2 31 2 310 3 142 10 3 53 10 14x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? 解 在原方程組中取 10 001 1 0( ) 2 01013M D L???????????? ? ? ? ????????? 0 3 1( ) 2 0 31 3 0N L U??????? ? ? ? ????? 設 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????.則雅可比迭代公式為 15 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 1 2 31 ( ) ( 1 ) ( ) ( )3 3 1 2 3( 14 10 3 ) / 10( 5 10 3 ) / 10( 14 3 10 ) / 10k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xx x x x xx x x x x??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 運行程序后得 當 ? = 時， 經過 14 次后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，. 當 ? = 時， 經過 8 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當 ? = 時，經過 10 次迭代后為 ( 0 0 0) Tx ? ， ，, 當 ? =1 時，經過 9 次迭代后為 ( 00 , 00 , 00) Tx ? , 當 ? =3 時迭代不收斂。 基本迭代法的收斂性 例 [12] 方程組 1 2 31 2 31 2 31 0 2 7 .21 0 2 8 .32 2 1 0 8 .4x x xx x xx x x? ? ???? ?