4、費(fèi)馬點(diǎn)、利用旋轉(zhuǎn)變換求線段和最值t(編輯修改稿)
2025-07-16 08:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．一、 費(fèi)馬點(diǎn)、利用旋轉(zhuǎn)變換求線段和最值費(fèi)馬點(diǎn)編輯本段費(fèi)馬點(diǎn)定義 在一個(gè)多邊形中，到每個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)多邊形的費(fèi)馬點(diǎn)。 在平面三角形中: (1).三內(nèi)角皆小于120176。的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn). (2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (3)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合 ?。?） 等邊三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內(nèi)切圓和外切圓的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。 ?。?） 當(dāng)BC=BA但CA≠AB時(shí)，BP為三角形CA上的高和中線、三角上的角分線。 編輯本段證明 (1)費(fèi)馬點(diǎn)對邊的張角為120度?！ 鰿C1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 將△BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△BDA1重合，連結(jié)PD，則△PDB為等邊三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點(diǎn)在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短
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