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正文內(nèi)容

第三節(jié)-最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)(編輯修改稿)

2024-07-14 14:31 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 樣本。 用什么來(lái)檢驗(yàn)?(檢驗(yàn)工具,統(tǒng)計(jì)量)我們已經(jīng)知道,參數(shù)估計(jì)值滿足:和,要盡可能利用關(guān)于和的信息。將和由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量:和在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中,和我們都不知道,原因在于未知。但我們前邊已經(jīng)證明是的無(wú)偏估計(jì)量。因此,對(duì)于大樣本情況,我們可以用代替,進(jìn)而求得和以及。這樣,和可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為:和。從而可以利用這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)和進(jìn)行檢驗(yàn)。(什么含義)就是說(shuō),我們可以對(duì)比如進(jìn)行檢驗(yàn)。如何檢驗(yàn)?zāi)??就是考察我們算出?lái)的統(tǒng)計(jì)量是否服從正態(tài)分布。對(duì)于一元線性回歸模型而言,我們關(guān)心的是解釋變量能否解釋被解釋變量,在數(shù)學(xué)上這表現(xiàn)為是否成立。因此,我們可以進(jìn)行下假設(shè):零假設(shè) 備擇假設(shè) 在零假設(shè)條件下,服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,我們用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。在一般情況下,樣本容量不滿足大樣本條件,這時(shí)要用t統(tǒng)計(jì)量,所做的檢驗(yàn)稱之為t分布檢驗(yàn)。這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為:,其服從自由度為(n2)的t分布。關(guān)于t分布t分布的含義是隨機(jī)變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平和自由度(n2),則t落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為:t落在區(qū)域之外的概率為,也可以寫(xiě)作:,此式子等價(jià)于和。見(jiàn)下圖。 ta (n2) 0 ta (n2) 很顯然,如果計(jì)算出來(lái)的這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為:(即t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值),則可以認(rèn)為原假設(shè)成立,即。反之,如果計(jì)算出來(lái)的這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為:,則可以認(rèn)為備擇假設(shè)成立,即。因此,我們通常的希望是t統(tǒng)計(jì)量值大于臨界值。t統(tǒng)計(jì)量值我們可以根據(jù)樣本計(jì)算出來(lái),而臨界值可以通過(guò)查表得到。問(wèn)題:t值與P值的關(guān)系是什么?相應(yīng)地,我們可以對(duì)總體參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)。過(guò)程為:零假設(shè)為:備擇假設(shè)為: 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量查t分布表,得出臨界值。若,則拒絕零假設(shè),接受備擇假設(shè),即認(rèn)為。三、 總體參數(shù)的置信區(qū)間的置信區(qū)間由,將代入概率公式,可得:用概率表述為:總體參數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為。統(tǒng)計(jì)表述:區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為。通常說(shuō),總體參數(shù)的置信區(qū)間為:相似地,總體參數(shù)的置信區(qū)間為:由這兩個(gè)區(qū)間,可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)(可決系數(shù))評(píng)價(jià)回歸直線對(duì)觀察值擬合的好壞,擬合優(yōu)度是一個(gè)重要的指標(biāo)。顯然,若觀測(cè)點(diǎn)離回歸直線近,則擬合程度好,反之,則擬合程度差。測(cè)量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)(決定系數(shù))現(xiàn)由一個(gè)恒等式開(kāi)始。這個(gè)式子把解釋變量的總偏差分解成兩部分:回歸偏差或者叫可解釋偏差(和殘差兩部分之和??山忉屍钍怯蓸颖净貧w直線決定的,殘差則是隨機(jī)的。顯然,由樣本回歸直線解釋的部分越大,則殘差越小,樣本回歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本回歸方程對(duì)所有樣本點(diǎn)的擬合的好壞,必須求和,考慮到正負(fù)抵消的問(wèn)題,可以求平方和。 總離差平方和: 回歸平方和: 殘差平方和:現(xiàn)在推導(dǎo)三者之間的關(guān)系:這里有:所以有。即:總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為:,表示可
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