第三節(jié)-最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-07-14 14:31 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 樣本。 用什么來(lái)檢驗(yàn)？（檢驗(yàn)工具，統(tǒng)計(jì)量）我們已經(jīng)知道，參數(shù)估計(jì)值滿足：和，要盡可能利用關(guān)于和的信息。將和由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量：和在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，和我們都不知道，原因在于未知。但我們前邊已經(jīng)證明是的無(wú)偏估計(jì)量。因此，對(duì)于大樣本情況，我們可以用代替，進(jìn)而求得和以及。這樣，和可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：和。從而可以利用這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)和進(jìn)行檢驗(yàn)。（什么含義）就是說(shuō)，我們可以對(duì)比如進(jìn)行檢驗(yàn)。如何檢驗(yàn)?zāi)?？就是考察我們算出?lái)的統(tǒng)計(jì)量是否服從正態(tài)分布。對(duì)于一元線性回歸模型而言，我們關(guān)心的是解釋變量能否解釋被解釋變量，在數(shù)學(xué)上這表現(xiàn)為是否成立。因此，我們可以進(jìn)行下假設(shè)：零假設(shè) 備擇假設(shè) 在零假設(shè)條件下，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。在一般情況下，樣本容量不滿足大樣本條件，這時(shí)要用t統(tǒng)計(jì)量，所做的檢驗(yàn)稱之為t分布檢驗(yàn)。這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為：，其服從自由度為（n2）的t分布。關(guān)于t分布t分布的含義是隨機(jī)變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平和自由度（n2）,則t落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為：t落在區(qū)域之外的概率為，也可以寫(xiě)作：，此式子等價(jià)于和。見(jiàn)下圖。 ta (n2) 0 ta (n2) 很顯然，如果計(jì)算出來(lái)的這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為：（即t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值），則可以認(rèn)為原假設(shè)成立，即。反之，如果計(jì)算出來(lái)的這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為：，則可以認(rèn)為備擇假設(shè)成立，即。因此，我們通常的希望是t統(tǒng)計(jì)量值大于臨界值。t統(tǒng)計(jì)量值我們可以根據(jù)樣本計(jì)算出來(lái)，而臨界值可以通過(guò)查表得到。問(wèn)題：t值與P值的關(guān)系是什么？相應(yīng)地，我們可以對(duì)總體參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)。過(guò)程為：零假設(shè)為：備擇假設(shè)為： 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量查t分布表，得出臨界值。若，則拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為。三、 總體參數(shù)的置信區(qū)間的置信區(qū)間由，將代入概率公式，可得：用概率表述為：總體參數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為。統(tǒng)計(jì)表述：區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為。通常說(shuō)，總體參數(shù)的置信區(qū)間為：相似地，總體參數(shù)的置信區(qū)間為：由這兩個(gè)區(qū)間，可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)（可決系數(shù)）評(píng)價(jià)回歸直線對(duì)觀察值擬合的好壞，擬合優(yōu)度是一個(gè)重要的指標(biāo)。顯然，若觀測(cè)點(diǎn)離回歸直線近，則擬合程度好，反之，則擬合程度差。測(cè)量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)（決定系數(shù)）現(xiàn)由一個(gè)恒等式開(kāi)始。這個(gè)式子把解釋變量的總偏差分解成兩部分：回歸偏差或者叫可解釋偏差（和殘差兩部分之和?？山忉屍钍怯蓸颖净貧w直線決定的，殘差則是隨機(jī)的。顯然，由樣本回歸直線解釋的部分越大，則殘差越小，樣本回歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本回歸方程對(duì)所有樣本點(diǎn)的擬合的好壞，必須求和，考慮到正負(fù)抵消的問(wèn)題，可以求平方和。 總離差平方和： 回歸平方和： 殘差平方和：現(xiàn)在推導(dǎo)三者之間的關(guān)系：這里有：所以有。即：總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為：，表示可
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