第三節(jié)-最小二乘估計量的性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-07-14 14:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 樣本。 用什么來檢驗？（檢驗工具，統(tǒng)計量）我們已經(jīng)知道，參數(shù)估計值滿足：和，要盡可能利用關(guān)于和的信息。將和由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布統(tǒng)計量：和在這兩個統(tǒng)計量中，和我們都不知道，原因在于未知。但我們前邊已經(jīng)證明是的無偏估計量。因此，對于大樣本情況，我們可以用代替，進而求得和以及。這樣，和可以進一步轉(zhuǎn)化為：和。從而可以利用這兩個統(tǒng)計量對總體參數(shù)和進行檢驗。（什么含義）就是說，我們可以對比如進行檢驗。如何檢驗?zāi)?？就是考察我們算出來的統(tǒng)計量是否服從正態(tài)分布。對于一元線性回歸模型而言，我們關(guān)心的是解釋變量能否解釋被解釋變量，在數(shù)學(xué)上這表現(xiàn)為是否成立。因此，我們可以進行下假設(shè)：零假設(shè) 備擇假設(shè) 在零假設(shè)條件下，服從標準正態(tài)分布，我們用這個統(tǒng)計量進行檢驗。在一般情況下，樣本容量不滿足大樣本條件，這時要用t統(tǒng)計量，所做的檢驗稱之為t分布檢驗。這時t統(tǒng)計量為：，其服從自由度為（n2）的t分布。關(guān)于t分布t分布的含義是隨機變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平和自由度（n2）,則t落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為：t落在區(qū)域之外的概率為，也可以寫作：，此式子等價于和。見下圖。 ta (n2) 0 ta (n2) 很顯然，如果計算出來的這時t統(tǒng)計量為：（即t統(tǒng)計量小于臨界值），則可以認為原假設(shè)成立，即。反之，如果計算出來的這時t統(tǒng)計量為：，則可以認為備擇假設(shè)成立，即。因此，我們通常的希望是t統(tǒng)計量值大于臨界值。t統(tǒng)計量值我們可以根據(jù)樣本計算出來，而臨界值可以通過查表得到。問題：t值與P值的關(guān)系是什么？相應(yīng)地，我們可以對總體參數(shù)值進行檢驗。過程為：零假設(shè)為：備擇假設(shè)為： 計算統(tǒng)計量查t分布表，得出臨界值。若，則拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即認為。三、 總體參數(shù)的置信區(qū)間的置信區(qū)間由，將代入概率公式，可得：用概率表述為：總體參數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為。統(tǒng)計表述：區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為。通常說，總體參數(shù)的置信區(qū)間為：相似地，總體參數(shù)的置信區(qū)間為：由這兩個區(qū)間，可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)（可決系數(shù)）評價回歸直線對觀察值擬合的好壞，擬合優(yōu)度是一個重要的指標。顯然，若觀測點離回歸直線近，則擬合程度好，反之，則擬合程度差。測量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)（決定系數(shù)）現(xiàn)由一個恒等式開始。這個式子把解釋變量的總偏差分解成兩部分：回歸偏差或者叫可解釋偏差（和殘差兩部分之和?？山忉屍钍怯蓸颖净貧w直線決定的，殘差則是隨機的。顯然，由樣本回歸直線解釋的部分越大，則殘差越小，樣本回歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本回歸方程對所有樣本點的擬合的好壞，必須求和，考慮到正負抵消的問題，可以求平方和。 總離差平方和： 回歸平方和： 殘差平方和：現(xiàn)在推導(dǎo)三者之間的關(guān)系：這里有：所以有。即：總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為：，表示可
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