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正文內(nèi)容

第三節(jié)-最小二乘估計量的性質(zhì)(編輯修改稿)

2024-07-14 14:31 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 樣本。 用什么來檢驗?(檢驗工具,統(tǒng)計量)我們已經(jīng)知道,參數(shù)估計值滿足:和,要盡可能利用關(guān)于和的信息。將和由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布統(tǒng)計量:和在這兩個統(tǒng)計量中,和我們都不知道,原因在于未知。但我們前邊已經(jīng)證明是的無偏估計量。因此,對于大樣本情況,我們可以用代替,進而求得和以及。這樣,和可以進一步轉(zhuǎn)化為:和。從而可以利用這兩個統(tǒng)計量對總體參數(shù)和進行檢驗。(什么含義)就是說,我們可以對比如進行檢驗。如何檢驗?zāi)??就是考察我們算出來的統(tǒng)計量是否服從正態(tài)分布。對于一元線性回歸模型而言,我們關(guān)心的是解釋變量能否解釋被解釋變量,在數(shù)學(xué)上這表現(xiàn)為是否成立。因此,我們可以進行下假設(shè):零假設(shè) 備擇假設(shè) 在零假設(shè)條件下,服從標準正態(tài)分布,我們用這個統(tǒng)計量進行檢驗。在一般情況下,樣本容量不滿足大樣本條件,這時要用t統(tǒng)計量,所做的檢驗稱之為t分布檢驗。這時t統(tǒng)計量為:,其服從自由度為(n2)的t分布。關(guān)于t分布t分布的含義是隨機變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平和自由度(n2),則t落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為:t落在區(qū)域之外的概率為,也可以寫作:,此式子等價于和。見下圖。 ta (n2) 0 ta (n2) 很顯然,如果計算出來的這時t統(tǒng)計量為:(即t統(tǒng)計量小于臨界值),則可以認為原假設(shè)成立,即。反之,如果計算出來的這時t統(tǒng)計量為:,則可以認為備擇假設(shè)成立,即。因此,我們通常的希望是t統(tǒng)計量值大于臨界值。t統(tǒng)計量值我們可以根據(jù)樣本計算出來,而臨界值可以通過查表得到。問題:t值與P值的關(guān)系是什么?相應(yīng)地,我們可以對總體參數(shù)值進行檢驗。過程為:零假設(shè)為:備擇假設(shè)為: 計算統(tǒng)計量查t分布表,得出臨界值。若,則拒絕零假設(shè),接受備擇假設(shè),即認為。三、 總體參數(shù)的置信區(qū)間的置信區(qū)間由,將代入概率公式,可得:用概率表述為:總體參數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為。統(tǒng)計表述:區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為。通常說,總體參數(shù)的置信區(qū)間為:相似地,總體參數(shù)的置信區(qū)間為:由這兩個區(qū)間,可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)(可決系數(shù))評價回歸直線對觀察值擬合的好壞,擬合優(yōu)度是一個重要的指標。顯然,若觀測點離回歸直線近,則擬合程度好,反之,則擬合程度差。測量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)(決定系數(shù))現(xiàn)由一個恒等式開始。這個式子把解釋變量的總偏差分解成兩部分:回歸偏差或者叫可解釋偏差(和殘差兩部分之和??山忉屍钍怯蓸颖净貧w直線決定的,殘差則是隨機的。顯然,由樣本回歸直線解釋的部分越大,則殘差越小,樣本回歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本回歸方程對所有樣本點的擬合的好壞,必須求和,考慮到正負抵消的問題,可以求平方和。 總離差平方和: 回歸平方和: 殘差平方和:現(xiàn)在推導(dǎo)三者之間的關(guān)系:這里有:所以有。即:總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為:,表示可
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