浙江省20xx中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一篇教材梳理第五章四邊形第17課時(shí)矩形菱形和正方形課件(編輯修改稿)
2025-07-14 05:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝ ∠ CFD ＝ 90 176。 ，AD ＝ CD ， ∴△ A D E ≌△ C D F . ( 2) ∠ BEF ＝ ∠ BFE . 證明： ∵ 四邊形 ABCD 是菱形 ， ∴ AB ＝ C B ． ∵△ A DE ≌△ C DF ， ∴ AE ＝ CF ， ∴ BE ＝ BF ， ∴∠ BEF ＝ ∠ BFE . 考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定 ( 2 0 1 7 杭州 ) 如圖 ， 在正方形 ABCD 中 ， 點(diǎn) G 在對(duì)角線 BD 上 ( 不與 點(diǎn) B ， D 重合 ) ， GE ⊥ DC 于點(diǎn) E ， GF ⊥ BC 于點(diǎn) F ， 連結(jié) AG . ( 1 ) 寫出線段 AG ， GE ， GF 長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系 ， 并說(shuō)明理由； ( 2 ) 若正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1 ， ∠ A GF ＝ 1 0 5 176。， 求線段 BG 的長(zhǎng)． 【思路點(diǎn)撥】 ( 1) 連結(jié) CG ，先由對(duì)稱性易得 GA ＝ GC ．又由四邊形 E G F C 是矩形，推出 GE ＝ CF ，在 Rt △ G F C 中，利用勾股定理即可得三條線段之間的關(guān)系． ( 2) 作 BN ⊥ AG 于點(diǎn) N ，在BN 上截取一點(diǎn) M ，使得 AM ＝ BM .設(shè) AN ＝ x ，易得 AM ＝ BM ＝2 x ， MN ＝ 3 x ，在 Rt △ ABN 中，根據(jù) AB2＝ AN2＋ BN2，可得 1 ＝ x2＋ (2 x ＋ 3 x )2，解得 x ＝6 － 24，推出 BN ＝6 ＋ 24，再根據(jù) BG ＝BNcos 30176。即可解決問(wèn)題． 解： ( 1) 結(jié)論： AG2＝ GE2＋ GF2. 理由如下：如圖 ， 連結(jié) CG . ∵ 四邊形 A B C D 是正方形 ， ∴ A ， C 關(guān)于對(duì)角線 BD 對(duì)稱 ． ∵ 點(diǎn) G 在 BD 上 ， ∴ GA ＝ G C ． ∵ GE ⊥ DC 于點(diǎn) E ， GF ⊥ BC 于點(diǎn) F ， ∴∠ G E C ＝ ∠ E C F ＝ ∠ CFG ＝ 9 0176。 ， ∴ 四邊形 E G F C 是矩形 ， ∴ CF ＝ GE . 在 Rt △ G F C 中 ， ∵ CG2＝ GF2＋ CF2， ∴ AG2＝ GF2＋ GE2. ( 2 ) 如圖 ， 作 B N ⊥ AG 于點(diǎn) N ， 在 B N 上截取一點(diǎn) M ， 使得AM ＝ BM .設(shè) A N ＝ x . ∵∠ A GF ＝ 1 0 5 176。 ， ∠ FBG ＝ ∠ F GB ＝ ∠ ABG ＝ 45 176。 ， ∴∠ A GB ＝ 60 176。 ， ∠ GB N ＝ 30 176。 ， ∠ ABM ＝ ∠ M A B ＝ 15 176。 ，∴∠ AM N ＝ 30 176。 ， ∴ AM ＝ BM ＝ 2 x ， M N ＝ 3 x ， B N ＝ 2 x ＋ 3 x . 在 Rt △ AB N 中 ， ∵ AB2＝ A N2＋ B N2， ∴ 1 ＝ x2＋ (2 x ＋ 3 x )2， 解得 x ＝6 － 24( 負(fù)值舍去 ) ， ∴ B N ＝6 ＋ 24， ∴ BG ＝B Ncos 30 176。＝3 2 ＋ 66. 方法總結(jié)： 1 ． 正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形 ， 具有矩形和菱形的所有性質(zhì) ． 2 ． 若判定一個(gè)四邊形是正方形 ， 可以先判定為矩形 ， 再證鄰邊相等或?qū)?角線互相垂直；或先判定為菱形 ， 再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等 ． 如圖 ， 在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 ， 點(diǎn) D在 CG 上 ， BC ＝ 1 ， CE ＝ 3. 若 H 是 AF 的中點(diǎn) ， 則 CH 的長(zhǎng)是 ( ) A ． 2 . 5 B ． 5 C ．3 22 D ． 2 【解析】 如圖 ， 連結(jié) AC ， CF ， ∵ 四邊形 A B C D 與四邊形 C E F G 都是正方形 ， ∴∠ ACF ＝ 90 176。 .又 ∵ H 是 AF 的中點(diǎn) ， ∴ CH ＝12AF ， 延長(zhǎng) AD 交 EF 于點(diǎn) M ， 則 AM ⊥ EF .在 Rt △ A M F 中 ， AM ＝ 1 ＋ 3 ＝ 4 ， FM ＝ 3 － 1＝ 2 ， AF ＝ 42＋ 22＝ 2 5 ， ∴ CH ＝ 5 .故選 B ． 答案： B 當(dāng)堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 1 ． 矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是 ( B ) A ． 對(duì)角線互相垂直 B ． 對(duì)角線相等 C ． 對(duì)角線互相平分 D ． 鄰邊相等 2 ． ( 2 0 1 7 嘉興、舟山 ) 一張矩形紙片 ABCD ， 已知 AB ＝ 3 ，AD ＝ 2 ， 小明按如圖所示的步驟折疊紙片 ， 則線段 DG 的長(zhǎng)為( A ) A ． 2 B ． 2 2 C ． 1 D ． 2 3 ． 如圖 ， F 是正方形 ABCD 的邊 CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， BF 的垂直平分線交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) E ， 連結(jié) BE ， FE ， 則 ∠ EBF 的度數(shù) 是 ( ) A ． 45 176。 B ． 50 176。 C ． 60 176。 D ． 不確定 【解析】 如圖 ， 過(guò)點(diǎn) E 作 HI ∥ BC ， 分別交 AB ， CD 于點(diǎn) H ， I ， 則 ∠ B H E ＝ ∠ E I F＝ 90 176。 .∵ E 是 BF 的垂直平分線 EM 上的點(diǎn) ， ∴ EF ＝ E B ． ∵ E 是 ∠ B C D 平分線上一點(diǎn) ， ∴ E 到 BC 和 CD 的距離相等 ， 即 BH ＝ EI .在 Rt △ B H E 和 Rt △ E IF 中 ，???EB ＝ EF ，BH ＝ EI ，∴ Rt △ B H E ≌ Rt △ E IF ， ∴ ∠ H B E ＝∠ I E F . ∵∠ H B E ＋ ∠ H E B ＝ 90 176。 ， ∴∠ IE F ＋ ∠ H E B ＝ 90 176。 ， ∴∠ BEF ＝ 90 176。 .∵ BE ＝ EF ， ∴∠ E B F ＝ ∠ EFB ＝ 45 176。 .故選 A ． 答案： A 4 ． 如圖 ， 四邊形 A B CD 與四邊形 A EC F 都是菱形 ， 點(diǎn) E ， F在 BD 上 ， 已知 ∠ BAD ＝ 1 20 176。， ∠ EA F ＝ 30 176。， 則ABAE＝ ． 【解析】 如圖 ， 連結(jié) AC ， 過(guò)點(diǎn) E作 E N ⊥ AB 于點(diǎn) N .∵ 四邊形 A B C D 與四邊形 A E C F 都是菱形 ， 點(diǎn) E ， F 在 BD上 ， ∠ BAD ＝ 120 176。 ， ∠ E A F ＝ 30 176。 ， ∴∠ ABD ＝ 30 176。 ， ∠ EAC ＝ 15 176。 ， 則 ∠ BAE ＝ 45 176。 .∴ 設(shè) A N ＝ x ，則 N E ＝ x ， AE ＝ 2 x ， B N ＝N Et an 30 176。＝ 3 x ， ∴ABAE＝x ＋ 3 x2 x＝6 ＋ 22. 答案：6 ＋ 22 5 ． ( 2 0 1 7 紹興、義烏 ) 如圖為某城市的部分街道示意圖 ， 四邊形 ABCD 為正方形 ，點(diǎn) G 在對(duì)角線 BD 上 ， GE ⊥ CD ， GF ⊥ BC ，AD ＝ 1 5 0 0 m ， 小敏行走的路線為 B → A → G → E ， 小聰行走的路線為 B → A → D → E → F . 若小敏行走的路程為 3 1 0 0 m ， 則小聰行走的路程為 m . 【解析】 小 敏行走的路程為 AB ＋ AG ＋ GE ＝ 1 5 0 0 ＋ ( AG ＋ GE )＝ 3 1 0 0 ( m ) ， 則 AG ＋ GE ＝ 1 6 0 0 m ． 小聰行走的路程為 BA ＋ AD＋ DE ＋ EF ＝ 3 0 0 0 ＋ ( DE ＋ EF ) ． 如圖 ， 連結(jié) C
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