【正文】 ， ∴∠ ABO ＝ ∠ D A E . ∵ DE ⊥ AE ， ∴∠ A E D ＝ ∠ A O B ＝ 90 176。 . ∵ 點 H 為 BF 的中點 ， ∴ GH ＝12BF . ∵ BC ＝ 5 ， CF ＝ CD － DF＝ 5 － 2 ＝ 3 ， ∴ BF ＝ BC2＋ CF2＝ 34 ， ∴ GH ＝12BF ＝342.故答案為342. 答案：342 14 ． 如圖 ， 在平面直角坐標系中 ， O 為坐標原點 ， 矩形 OA B C中 ， A ( 1 0 ， 0 ) ， C (0 ， 4 ) ， D 為 OA 的中點 ， P 為 BC 邊上一點．若△ P OD 為等腰三角形 ， 則所有滿足條件的點 P 的坐標為 ． 【解析】 ∵ 四邊形 OA B C 是矩形 ， ∴∠ OC B ＝ 90 176。 ， AD＝ BC ＝ 2 ， GF ＝ CE ＝ 1 ， ∴ AD ∥ GF ， ∴∠ GF H ＝ ∠ P A H .又 ∵ H是 AF 的中點 ， ∴ AH ＝ FH ， 在 △ A PH 和 △ F G H 中 ，???∠ P A H ＝ ∠ G F H ，AH ＝ FH ，∠ A H P ＝ ∠ F H G ，∴△ A PH ≌ △ F G H ， ∴ AP ＝ GF ＝ 1 ， GH ＝ PH ＝12PG ， ∴ PD ＝ AD － AP ＝1. ∵ CG ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∴ DG ＝ 1 ， 則 GH ＝12PG ＝12 PD2＋ DG2＝22.故選 C ． 答案： C 11 ．如圖 ， 矩形 E F GH 的四個頂點分別在菱形 ABCD 的四條邊上 ， BE ＝ BF ， 將 △ AEH ， △ CFG 分別沿 EH ， FG 折疊 ， 當重疊部分為菱形且面積是菱形 ABCD 面積的116時 ， 則AEEB的值為( ) A ．53 B ． 2 C ．52 D ． 4 【 解析】 如圖 ， 設重疊的菱形邊長為 x ， BE ＝ BF ＝ y ， 由矩形和菱形的對稱性以及折疊的性質(zhì) ， 得四邊形A H M E 、四邊形 BE N F 是菱形 ， ∴ AE ＝ EM ，E N ＝ BE ＝ y ， EM ＝ x ＋ y .∵ 重疊部分為菱形且面積是菱形 ABCD 面積的116， 且兩個菱形相似 ，∴ AB ＝ 4 M N ＝ 4 x ， ∴ AE ＝ AB － BE ＝ 4 x － y ， ∴ 4 x － y ＝ x ＋ y ， 解得 x ＝23y ， ∴ AE ＝53y ， ∴AEEB＝53yy＝53.故選 A ． 答案： A 12 ． 如圖 ， 將矩形 ABCD 分成 15 個大小相等的正方形 ， E ，F(xiàn) ， G ， H 分別在 AD ， AB ， BC ， CD 邊上 ， 且是某個小正方形的頂點．若四邊形 E F G H 的面積為 1 ， 則矩形 ABCD 的面積為 53 ． 13 ． 如圖 ， 已知正方形 ABCD 的邊長為 5 ， 點 E ， F 分 別在AD ， DC 上 ， AE ＝ DF ＝ 2 ， BE 與 AF 相交于點 G ， 點 H 為 BF 的中點 ， 連結(jié) GH ， 則 GH 的長為 ． 【解析】 ∵ 四邊形 A B CD 為正方形 ， ∴∠ BAE ＝ ∠ D ＝ 90 176。 .連結(jié) EG .由矩形和菱形的性質(zhì) ， 知 AB ∥ DC ， HE ∥ GF ， ∴∠ AEG ＝ ∠ M G E ， ∠ H E G ＝ ∠ F G E ，∴∠ A E H ＝ ∠ M G F .∵ EH ＝ GF ， ∴△ A E H ≌△ M G F ， ∴ FM ＝ AH ＝ 2. ∵ S△ FCG＝12CG .∵ 四邊形 E F GH 是菱形 ， ∴ EH ＝ GH .又 ∵ AH ＝ 2 ，DG ＝ 2 ， ∴ AH ＝ DG ， ∴△ AEH ≌△ DH G ， ∴∠ A H E ＝ ∠ DGH ， ∴∠ A H E ＋ ∠ D H G＝ 90 176。 5 ． 如圖 ， 在菱形 ABCD 中 ， 對角線 AC ， BD 相交于點 O . 若BD ＝ 8 ， t a n ∠ ABD ＝34， 則線段 AB 的長度為 ( C ) A ． 7 B ． 2 7 C ． 5 D ． 10 6 ． 如圖 ， 點 E 在正方形 A BCD 內(nèi) ， 且滿足 ∠ AEB ＝ 90 176。 AF 交對角線BD 于點 E ， 連結(jié) CE ， 則 ∠ BEC 的度數(shù)為 ( B ) A ． 75 176。AC 紹興、義烏 ) 如圖為某城市的部分街道示意圖 ， 四邊形 ABCD 為正方形 ，點 G 在對角線 BD 上 ， GE ⊥ CD ， GF ⊥ BC ，AD ＝ 1 5 0 0 m ， 小敏行走的路線為 B → A → G → E ， 小聰行走的路線為 B → A → D → E → F . 若小敏行走的路程為 3 1 0 0 m ， 則小聰行走的路程為 m . 【解析】 小 敏行走的路程為 AB ＋ AG ＋ GE ＝ 1 5 0 0 ＋ ( AG ＋ GE )＝ 3 1 0 0 ( m ) ， 則 AG ＋ GE ＝ 1 6 0 0 m ． 小聰行走的路程為 BA ＋ AD＋ DE ＋ EF ＝ 3 0 0 0 ＋ ( DE ＋ EF ) ． 如圖 ， 連結(jié) CG ， 在正方形 ABCD中 ， ∵ 點 A 和點 C 關于對稱軸 BD 對稱 ， ∴ AG ＝ CG .又 ∵ GE ⊥ CD ，GF ⊥ BC ， ∠ BCD ＝ 90 176。 ， ∠ EAC ＝ 15 176。 ∠ EA F ＝ 30 176。 ， ∴∠ IE F ＋ ∠ H E B ＝ 90 176。 B ． 50 176。 ， ∴ AM ＝ BM ＝ 2 x ， M N ＝ 3 x ， B N ＝ 2 x ＋ 3 x . 在 Rt △ AB N 中 ， ∵ AB2＝ A N2＋ B N2， ∴ 1 ＝ x2＋ (2 x ＋ 3 x )2， 解得 x ＝6 － 24( 負值舍去 ) ， ∴ B N ＝6 ＋ 24， ∴ BG ＝B Ncos 30 176。 ， ∴∠ A GB ＝ 60 176。 求線段 BG 的長． 【思路點撥】 ( 1) 連結(jié) CG ，先由對稱性易得 GA ＝ GC ．又由四邊形 E G F C 是矩形，推出 GE ＝ CF ，在 Rt △ G F C 中，利用勾股定理即可得三條線段之間的關系． ( 2) 作 BN ⊥ AG 于點 N ，在BN 上截取一點 M ，使得 AM ＝ BM .設 AN ＝ x ，易得 AM ＝ BM ＝2 x ， MN ＝ 3 x ，在 Rt △ ABN 中，根據(jù) AB2＝ AN2＋ BN2，可得 1 ＝ x2＋ (2 x ＋ 3 x )2，解得 x ＝6 － 24，推出 BN ＝6 ＋ 24，再根據(jù) BG ＝BNcos 30176。 DE ＝12 10 3 10 ＝ 1 5. 方法總結(jié)： 1 ． 在利用菱形計算或證明時 ， 應充分利用菱形的性質(zhì) ， 如 “ 菱形的四條邊都相等 ”“ 菱形的對角線互相垂直且平分 ， 并且每一組對角線平分一組對角 ” 等 ． 2 ． 對于菱形的判定 ， 若可證出四邊形為平行四邊形 ， 則可證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若相等的邊較多 ， 則可證四條邊都相等 ． 如圖 ， 在菱形 ABCD 中 ， 過點 D 作 DE ⊥ AB 于點 E ，作 DF ⊥ BC 于點 F ， 連結(jié) EF . 求證： ( 1 ) △ A DE ≌△ C DF ； 證明： ∵ 四邊形 A B CD 是菱形 ， ∴ AD ＝ CD ， ∠ A ＝ ∠ C ． ∵ DE ⊥