最后階段高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略江蘇省啟東中學(xué)曹瑞彬(編輯修改稿)
2025-07-13 18:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例 7 . 已知等差數(shù)列 { a n } 的首項為 a ，公差為 b ，等比數(shù)列 {b n }的首項為 b ，公比為 a ，其中 a ， b 都大于 1 的整數(shù)，且 a 1 b 1 ，b 2 a 3 。 (1) 求 a 的值； (2) 若對于任意的 n ∈ N*, 總存在 m ∈ N* ，使得 a m +3= b n 成立，求 b 的值； (3) 令 C n =a n +1 +b n ，問數(shù)列 {C n}中是否存在的三項成等比數(shù)列？ 解 ： (1) 由已知，得 a n = a +( n 1) b ， b n = an 1，由 a 1 b 1 ， b 2 a 3 ，得 a b ， ab a +2 b 。 因為 a 、 b 都為大于 1 的正整數(shù)，所以 a ≥ 2 ， b ≥ 3 ，再有ab a +2 b ，得 ( a 2) b a ，所以 a =2 。 (2) 由 a =2 ，對于任意的 n ∈ N*, 總存在 m ∈ N* ，使得a m +3= b n 成立。即 b ( m 1)+5=b 2n 1， 所以 b 是 5 的倍數(shù)，當(dāng) b =5 時，存在自然數(shù) m =2n 1滿足 題設(shè)要求。 ( 3 ) 設(shè)數(shù)列 {C n } 中， C n ， C n +1 ， C n +2 成等比數(shù)列 由 C n =2+ nb+b 2n 1， (C n +1 )2=C n C n +1 得 (2+nb +b+b2 )2=(2+nb + b2n 1)( 2+nb +2b+b 2n) 化簡得 b= 2n+(n 2 )b2n 1) 例 8 ． 已知 數(shù)列 { an} 滿足： a1= a2= a3=2 ， an +1= a1a2?an 1( n ≥ 3) ，記 2 2 22 1 2 1 2n n nb a a a a a a? ? ? ? ? ?( n ≥ 3) ． ( 1) 求證數(shù)列 { bn} 為等差數(shù)列，并求其通項公式 ； ( 2) 設(shè)221111nnncbb?? ? ?，數(shù)列 {nc} 的前 n 項和為 Sn，求證： n Sn n +1 ． 解 ： ( 1) 方法一 當(dāng) n ≥ 3 時，因2 2 22 1 2 1 2n n nb a a a a a a? ? ? ? ? ?①， 故2 2 2 21 1 2 1 1 2 1n n n n nb a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?② ． ② ①，得 bn1 bn2=21 1 2 1( 1 )n n na a a a a????=21 1 1( 1 ) ( 1 )n n na a a? ? ?? ? ?=1 ，為常數(shù)， 所以，數(shù)列 { bn} 為等差數(shù)列． 因 b1=2221 2 3 1 2 3a a a a a a???=4 ， 故 bn= n +3 ． 方法二 當(dāng) n ≥ 3 時， a1a2? an= 1 + an +1， a1a2? anan +1= 1+ an +2， 將上兩式相除 并變形 ，得 21 2 1 1n n na a a? ? ?? ? ? 于是，當(dāng) n ∈ N * 時， 2 2 21 2 2 1 2 2n n nb a a a a a a??? ? ? ? ? 2221 2 3 5 4 3 2 1 2 2( 1 ) ( 1 )n n na a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221 2 3 3 4 3( 1 ) ( 1 )nna a a a a n a??? ? ? ? ? ? ? ? ? 410 na? ? ?． 又 a4= a1a2a3 1= 7 ， 故 bn= n + 3( n ∈ N *) ． 所以數(shù)列 { bn} 為等差數(shù)列，且 bn= n +3 ． ( 2) 方法一 因 nc22111( 3 ) ( 4 )nn? ? ???222( ( 3 ) ( 4 ) 1 )( 3 ) ( 4 )nnnn? ? ????， 故 nc ( 3 ) ( 4 ) 1( 3 ) ( 4 )nnnn? ? ????11( 3 ) ( 4 )nn????11134nn? ? ???． 所以 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 5 5 6 3 4nSnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ???1144nn? ? ??， 即 n ＜ Sn＜ n +1 ． 方法 二 因221111( 3 ) ( 4 )ncnn? ? ? ???，故nc1 ，nSn ?． 221 1 1 111( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 )ncn n n n n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?= 故nc11124nn????，于是1( 1 ) 12nS n nn? ? ? ??． 函數(shù)問題更多的與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，是近幾年全國各省高考數(shù)學(xué)的一個最大的特點。函數(shù)問題的另一個特點就是和思想方法的緊密結(jié)合，對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、有限與無限等思想都 進(jìn)行了深入的考查，去年對函數(shù)問題仍然作為重點為來考查，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合作為壓軸題好象是有通一規(guī)定的。何時函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的溫度降下來，看來要看今明年的走向了。 6. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查綜合能力 例 9 ：江蘇 20 設(shè)()fx是定義在區(qū)間( 1 , )??上的函數(shù) ,其導(dǎo)函數(shù)為39。( ) .fx如果存在實數(shù) a 和函數(shù)()hx, 其中()hx.對任意的( 1 , )x ? ? ?都有( ) 0 ,hx ?使得39。( )fx ?2( ) ( 1 )h x x a x??，則稱函數(shù) ()fx 具有性質(zhì) ()Pa (1 ) 設(shè)函數(shù)()fx2l n ( 1 )1bxxx?? ? ??, 其中 b 為實數(shù) . ( i ) 求證 : 函數(shù)()fx具有性質(zhì)()Pb。(i i ) 求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū) 間； (2 ) 已知函數(shù)()gx具有性質(zhì)( 2 )P, 給定12, ( 1 , ) ,xx
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