【文章內(nèi)容簡介】 lement）則是指：在進行對稱變換時所憑借的幾何要素 ——點、線、面等。 NH3分子結(jié)構(gòu) 對稱操作的集合構(gòu)成的群稱為對稱操作群 3重旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的群 C3 群論基礎 定義：在元素的集合 G上定義一種結(jié)合法（稱為乘法），若 G對于給定的 乘法 滿足下述四條公設，則集合G稱為一個群 (group)： 1. 滿足封閉性。 G 中任何兩個 (不同的或相同的 )元素 a和 b，它們的乘積 ab 仍是 G 中元素。 2. 結(jié)合律成立。 G 中任何元素 a， b， c 有 (ab)c = a(bc)。 3. 單位元 e存在。 對于 G中任何元素 a，有 ea = ae = a。單位元 e 也稱為恒等元，也記為 1。 4. 逆元素存在。 對于 G中每一元素 a，都有 G中的一個元素 b=a1，稱為 a 的逆元，使得 ab = ba = 1。 例 2： 群 G={1， 1， i， i}的乘法表 1 1 1 1 i i i i 有限群中互不相同的元素的個數(shù)稱為 該 群的階 例 2 中的 {1, 1} 的乘法也構(gòu)成一個群，則稱為是群 G 的 子群 ， G則稱為 母群 。 例 1 是對稱操作群，對稱群中兩個元素的乘積定義為順次進行兩個操作，乘積 a2a1表示先操作 a1，后操作 a2，即先右邊的操作。 群的乘積不一定是算術(shù)中的乘法，而是代表了一種操作。 例 1 群中任何元素都可以看作是 3+ 生成的 3– = (3+)2 1= (3+)3 這樣的群稱為 循環(huán)群 ， 3+ 稱為生成元 。 第 I 類點對稱操作 ： n 重旋轉(zhuǎn)軸 點對稱操作 是客體所相關(guān)的空間中至少有一點不發(fā)生位移的對稱操作。 n Cn 晶體中旋轉(zhuǎn)對稱軸必定平行于某一點列。 直角坐標系下，繞 X軸， Y軸， Z軸的 n重旋轉(zhuǎn)的矩陣分別為： Wa = 1 0 0 0 cosan sinan 0 sinan cosan Wb = 0 1 0 cosan 0 sinan sinan 0 cosan (1) 1重旋轉(zhuǎn) 相當于沒有進行任何操作即全同操作?？瓷先ト僮鳑]有意義，但它是旋轉(zhuǎn)群中不可少的單位元素。 Wc = 0 0 1 cosan sinan 0 sinan cosan 0 (2) 2重旋轉(zhuǎn) 2 一對互為對映異構(gòu)體的點群為 2 的酒石酸 對于唯一最高對稱軸為 2 的宏觀晶體或微觀點陣，大部分文獻定義該 2 重軸方向的宏觀晶軸 Y，微觀點陣基矢 b。 b 軸為 2 重軸 c 軸為 2 重軸 {1, 2} (3) 3重旋轉(zhuǎn) 3 {3+， 3－ ， 1} 點群為 3 的過碘酸鈉晶體 3 重旋轉(zhuǎn)對稱 (4) 4重旋轉(zhuǎn) 4 {4+， 2， 4－ ， 1} (5) 5重對稱軸不存在 晶體學對稱軸的軸次定理 ：晶體中只可能存在1， 2， 3， 4， 6重對稱軸， 5重和 6重以上對稱軸不存在。 定理證明的前提是晶體具有點陣結(jié)構(gòu)。 設 A 和 B 是相距為一個平移周期 s 的兩點 (AB=d)，在 A 和 B 點皆有旋轉(zhuǎn) α=2π/q角度的旋轉(zhuǎn)對稱軸。繞 A 點 轉(zhuǎn)動 α角后， AB 變成了 AC，繞 B 點轉(zhuǎn)動α角后， BA變成了 BD。為了保證平移對稱性不破壞， CD的長度必須是 d 的 整數(shù)倍 ,即 CD=md，其中 m 為正整數(shù)。由圖可知 CD= md = d + 2dsin[απ/2] 于是有 cosα= (1m) / 2， 滿足上式的 m只能取五個值 m= 3, 2, 1, 0, 1， 轉(zhuǎn)動角度 α可能的取值為 α=π， 2π/3， π/2， π/3， 2π (6) 6重旋轉(zhuǎn) 6 {6+， 3+， 2+， 3－ ， 6 － ， 1} 第 II 類點對稱操作 ：反映與反演 (1) 反映 m {m， 1} Cs 反映面平行于某一點陣平面 1 = mhC2 {1， 1} (2) 反演 1 反演對稱對物體的作用 Ci 第 I 類點操作的乘積仍為第 I 類點操作，即旋轉(zhuǎn)之間的乘積仍為旋轉(zhuǎn)。 奇數(shù)個第 II 類點操作 反演的乘積為反演，偶數(shù)個反演的乘積為恒等操作。 奇數(shù)個第 II 類點操作 反映的乘積為反映，偶數(shù)個反映的乘積為恒等操作。 1 = mhC2 = C2mh 也可將 1， C2， mh 和 1 構(gòu)成一個對稱操作群 兩個非對稱操作的組合可構(gòu)成對稱操作 mh 表示的是與對稱旋轉(zhuǎn)軸垂直的反映面 C2h {1， C2， mh ， 1} 1 2 mh 1 1 1 2 mh 1 2 2 1 1 mh mh mh 1 1 2 1 1 mh 2 1 C2h {1， C2， mh ， 1} = 交換群 第 I 類點操作 與第 II 類點操作的組合 (1) 旋轉(zhuǎn) 反演 n 旋轉(zhuǎn)與反演是可交換的。旋轉(zhuǎn) 反演的對稱要素為 n 重軸 (不一定是旋轉(zhuǎn)對稱軸 ) 在加上一點作為反演心 (不一定是對稱心 )，合稱為反演軸 ( n ) 。 1：即反演。 2：即 mh，不是新的對稱操作。 例：硫酸鉀晶體有對稱心即 1 ，反演是對稱操作。盡管它沒有 2 重對稱軸和對稱面，我們總可以為它指定一個 2 重軸和一個相應的 mh 反映面，相應的操作 2 和 mh 不是對稱操作，但乘積 C2mh = 1 卻為對稱操作。 3：即 3 重旋轉(zhuǎn)軸和反演的組合，不是獨立的對稱操作。 3 = {3， (3)2 = 3–， (3)3 = 1， (3)4 = 3+，(3)5 = (3)–， (3)6 = 1} 兩個子群： H1 = {3+， 3–， 1}， H2 = {1， 1} 4：是新的獨立的對稱操作。 4 = {4， (4)2 = 2， (4)3 = (4)–， (4)4 = 1} 6：既可以看作兩個非對稱操作 6+， 1 的組合，也可以看作兩個對稱操作 3 和 mh 的組合。 6 = {6， (6)2 = 3+， (6)3 = 2 = mh， (6)4 = 3–， (6)5 = (6)–， (6)6 = 1} C3h 群 (2) 旋轉(zhuǎn) 反映 n ～ ~ 1：即反映，與操作 2 等價。 相應對稱要素為 n重軸 (不一定是對稱軸 )和一個與之垂直的反映面 (不一定是對稱面 )，合稱為 反映軸 。 ~ ~ 2：即反演， 2 = 1。 3：與 6 完全等同。 ~ 3 = {3， (3)2 = 3–， (3)3 = mh， (3)4 = 3+，(3)5 = (3)–， (3)6 = 1} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 群包含子群 3 和子群 mh。 3 = (6)–，即： 3 = C3mh = C3C21 = 6–1 =(6)– 將 3 = (6)兩邊取逆，得 (3) = 6– ~ ~ ~ ~ ~ 4：與 4 群完全相同。 ~ 6：與 3 群完全相同。 ~ 對稱操作 1， 2， 3， 4， 6 中， 1 和 2 = mh不是復合操作， 3， 4， 6是復合操作。其中 4 是獨立對稱操作。 1 = 2， 2 = 1， 3 = 6， 4 = 4， 6 = 3 ~ ~ ~ ~ ~ n 旋轉(zhuǎn) n 1 反演 mv 反映 mh 反映 2 n’ 2 n ~ mv’ m1 m3 m2 C3v 群 1 3+ 3– m1 m2 m3 1 1 3+ 3– m1 m2 m3 3+ 3+ 3– 1 m3 m1 m2 3– 3– 1 3+ m2 m3 m1 m1 m1 m2 m3 1 3+ 3– m2 m2 m3 m1 3– 1 3+ m3 m3 m1 m2 3+ 3– 1 C3v = {1， 3+， 3–， m1， m2， m3} 判斷下列命題的真?zhèn)危? 1. 具有 3 重反演軸 3 的客體，必同時具有 3 重軸和對稱心 1 2. 4 重反演軸 4 是無法用別的對稱要素替代的獨立對稱要素 3. 不可能用正五邊形不留空隙地鋪滿平面 4. 具有 6 重反演軸 6 的客體，必包含 6 重軸和對稱面 5. 具有 4 重反映軸 4 的客體，必包含 4 重旋轉(zhuǎn)對稱操作 6. 兩個第 II 類對稱操作的乘積為第 I 類對稱操作。 8. 三維點陣中的對稱軸必須與該點陣中的某一維點陣平行，與該點陣中的某二維點陣垂直 9. 循環(huán)群為交換群 10. 旋轉(zhuǎn)，反演兩步操作總是可以交換順序 11. 旋轉(zhuǎn)，反映兩步操作總是可以交換順序 12. 圍繞同一軸進行若干次旋轉(zhuǎn)的總結(jié)果與各次旋轉(zhuǎn)的順序無關(guān) 7. 兩個非對稱操作的乘積不可能是對稱操作 第 I 類空間操作：第 I類點操作 與平移的組合 (1) 旋轉(zhuǎn)與垂直平移的組合：轉(zhuǎn)軸的位移 (2) 旋轉(zhuǎn)與平行平移的組合：螺旋 nm 第 I 類操作的普遍形式 兩個非對稱操作組合的螺旋 設螺旋軸方向上的點陣周期為 d，該方向的平行平移 t 可以超過點陣平移 kd(k為整數(shù) )的取值范圍， t = kd + t t為點陣周期 d的分數(shù)倍，稱為螺旋操作中的內(nèi)稟平移或螺距。 考慮 n重旋轉(zhuǎn)與平行平移 t的組合 (kd + t)n 平移 kd是對稱操作，可以去掉 螺旋和螺旋軸的 HM 符號為 nm，其中 n 的含義與 n重旋轉(zhuǎn)軸的含義相同， m 表示內(nèi)稟平移。 螺旋對稱操作 nm定義為 nm = tn nm 操作 n 次，即 (nm)n = (tn)n = (nt)(n)n nt = md t = (m/n