【文章內(nèi)容簡介】 3對全等三角形 ,則視為同一種 ) (2)△ ABC中 ,∠ B=30176。,AD和 DE是△ ABC的三分線 ,點(diǎn) D在 BC邊上 ,點(diǎn) E在 AC邊上 ,且 AD=BD,DE= ????兩 條 線 段 ∠ C=x176。,試畫出示意圖 ,并求出 x所有可能的值 。 (3)如圖 3,△ ABC中 ,AC=2,BC=3,∠ C=2∠ B,請畫出△ ABC的三分線 ,并求出三分線的長 . 解析 (1)畫圖如下 (任畫其中兩個即可 ). ? ? (4分 ) (2)如圖 , ? 當(dāng) AD=AE時(shí) ,2x+x=30+30,∴ x=20.? (6分 ) 當(dāng) AD=DE時(shí) ,30+30+2x+x=180,∴ x=40.? (7分 ) 當(dāng) AE=DE時(shí) ,不存在 .(不寫不扣分 ) ∴∠ C的度數(shù)是 20176?；?40176。.(結(jié)論不寫不扣分 ) (3)如圖 ,CD,AE就是所求的三分線 , ? 設(shè) ∠ B=α,那么 ∠ DCB=∠ DCA=∠ EAC=α, ∠ ADE=∠ AED=2α,? (8分 ) 設(shè) AE=AD=a,BD=CD=y, ∵ △ AEC∽ △ BDC, ∴ a∶ y=2∶ 3.① 又 ∵ △ ACD∽ △ ABC,∴ 2∶ a=(a+y)∶ 2,② ? (10分 ) 由①②解得 a=? ? ,y=? ? , 即三分線長分別是 ? ? 和 ? ? .? (12分 ) 2510351025103510評析 本題考查了學(xué)生的理解能力及動手、創(chuàng)新能力 ,知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角 間的關(guān)系及等腰三角形知識 ,是一道綜合性比較強(qiáng)的題目 . 考點(diǎn) 2 直角三角形 1.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 122.(2022福建 ,15,4分 )把兩個同樣大小的含 45176。角的三角尺按如圖所示的方式放置 ,其中一個三 角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn) A,且另三個銳角頂點(diǎn) B,C,D在同一直線上 .若 AB=? ,則 CD= . ? 2答案 ? 1 3解析 由題意知△ ABC,△ ADE均為等腰直角三角形 ,且 AB=AC=AE=ED=? ,由勾股定理得 BC =AD= A作 AF⊥ BC于 F,則 FC=AF=1,在 Rt△ AFD中 ,由勾股定理得 FD=? ,故 CD=FDFC= ? 1. ? 2333.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) B39。? 落在邊 AC上 .若△ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,∴∠ B=∠ C=45176。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C=90176。時(shí) ,∠ B39。MC=∠ C=45176。. 設(shè) BM=x,則 B39。M=B39。C=x, 在 Rt△ MB39。C中 ,由勾股定理得 MC=? x, ∴ ? x+x=? +1,解得 x=1, ∴ BM=1. (2)如圖 ,當(dāng) ∠ B39。MC=90176。時(shí) ,點(diǎn) B39。與點(diǎn) A重合 , ? 此時(shí) BM=B39。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長為 1或 ? . 22 212 212?212?4.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD=90176。, ∠ A=60176。,∠ CBD=45176。.E為 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) E作 EF⊥ CD于點(diǎn) AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 答案 (? +? ) 2 6解析 如圖 ,連接 DE,過點(diǎn) E作 EM⊥ BD于點(diǎn) M,設(shè) EF交 BD于點(diǎn) N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM=2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。,∠ ADB=90176。,∴∠ ADG=4 5176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) F為 CG的中點(diǎn) ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 65.(2022江西 ,14,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,有一個銳角為 60176。,BC= P在直線 AC上 (不與 點(diǎn) A,C重合 ),且 ∠ ABP=30176。,則 CP的長為 . 答案 2? 或 4? 或 6 3 3解析 圖 1中 ,∠ ABC=60176。,BC=6,則 AB=3,AC=3? ,又 ∠ ABP=30176。,則 AP=? ,∴ CP=2? 或 CP=4? 。 圖 2中 ,∵∠ ACB=60176。,∠ ABP=30176。,∴ △ CBP是等邊三角形 , ∴ CP=CB=6. 圖 1 圖 2 綜上 ,CP的長為 2? 或 4? 或 6. 3 3 3 33 36.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.點(diǎn) D為邊 AC上一點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) M為 BD的中點(diǎn) ,CM的延長線交 AB于點(diǎn) F. (1)求證 :CM=EM。 (2)若 ∠ BAC=50176。,求 ∠ EMF的大小 。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. ? ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。,M為斜邊 BD的中點(diǎn) , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。50176。=40176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。=80176。, ∴∠ EMF=180176?！?CME=100176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。,∠ MEF=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。30176。)=75176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點(diǎn) , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 ∠ EMF。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。二是連接 AM,計(jì)算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點(diǎn) ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 127.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點(diǎn) ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。 (2)若 ∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,M為 AC的中點(diǎn) , ∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點(diǎn) , ∴ MN=? AD. ∵ AC=AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。. ∵ AC=AD=2,∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 28.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。.點(diǎn) E是 ∠ BAC角平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是不是等邊三角形 ?若是 ,請證明 。若不是 ,請說明理由 . 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。,∴∠ ABC=30176。,∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。. ∴∠ DAH=30176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 1. 圖 1 31233222 (4 3)? 13∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∠ DAB=90176。,∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。. ∵∠ DHA=90176。,∠ DAH=30176。,∴ DH=? A