【文章內(nèi)容簡介】 助性的圖形或表格，?？耸箚栴}的邏輯結構直觀地顯現(xiàn)出來，并提供程序性操作的機會.競賽的技巧不是低層次的一招一式或妙手偶得的雕蟲小技，它既是使用數(shù)學技巧的技巧，又是創(chuàng)造數(shù)學技巧的技巧，更確切點說，這是一種數(shù)學創(chuàng)造力，一種高思維層次，高智力水平的藝術，一種獨立于史詩、音樂、繪畫的數(shù)學美．奧林匹克技巧是競賽數(shù)學中一個生動而活躍的組成部分，“競賽味”常常在這里反映出來，學生創(chuàng)造性的聰明才智也常常在這里表現(xiàn)出來．競賽數(shù)學是中學數(shù)學的最高層面，它的基礎性、綜合性、教育性不會變化，但其挑戰(zhàn)性與創(chuàng)造性應當也必然會與時俱進．情況就像《九章算術》的246道習題體現(xiàn)著中國數(shù)學的東方風格那樣，就像希爾伯特的23個問題為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展源源提供跑道那樣．32 基本方法的講解321 構造它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結論為方向，構造出一種新的數(shù)學形式，使得問題在這種形式下簡捷解決．常見的有構造圖形，構造方程，構造恒等式，構造函數(shù)，構造反例，構造抽屜，構造算法等．例1 作圖表示． 講解 數(shù)列的無窮求和怎樣用有限的圖形表現(xiàn)出來呢？這需要一點數(shù)學想象．如圖1，作一個單位正方形，將其三等分，每份面積為；取出編號為1的矩形，留下編號為2的矩形，對無編號的矩形三等分，每份（正方形）面積為（圖2；取出編號為1的小正方形，留下編號為2的小正方形，對無編號的正方形三等分，每份面積為，…如此類推，無編號的矩形面積趨向于0，于是，編號為1的矩形面積之和等于編號為2的矩形面積之和，都等于．（可用三角形代替） 圖1 圖2 圖3例2 求值．解 （構造圖形）作 ，，且作使，則． 由面積關系 ， 圖4，．編擬： 由有 例 3 已知為正數(shù)且求表達式的最小值．（1989．全蘇）解法1 （構造圖形）構造一個，其中三邊長分別為則其面積為．另方面故知，當且僅當∠C=90176。時，取值得最小值2，亦即時，取最小值2，下面驗證最小值可以取到．由 有 ，取代入上式，得，解之取正值，得． 解法2 用基本不等式 ，當時，有最小值2， 例4 有質(zhì)量為克，克，…，克的砝碼，證明可將它們分成質(zhì)量相等的兩組，每組各有500個砝碼．證明 （構造恒等式）構造一個4平方恒等式 均等于．分別令，并求和即得．例5 有一大筐蘋果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到這樣的兩堆，其蘋果數(shù)之和與梨數(shù)之和都是偶數(shù)，問最少要把這些蘋果和梨分成幾堆？解 （1）4堆是不能保證得．如4堆的奇偶性為：（反例） （奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．（2）5堆是可以保證． 因為蘋果和梨數(shù)的奇偶性有且只有上述4種可能，當把這些蘋果和梨分成5堆時，必有2堆屬于同一奇偶性，其和蘋果數(shù)與梨數(shù)都是偶數(shù)．例6 一位棋手參加11周（77天）的集訓，每天至少下一盤棋，每周至多下12盤棋，證明這棋手必在連續(xù)幾天內(nèi)恰好下了21盤棋．證明 （構造抽屜）用表示這位棋手在第1天至第天（包括第天在內(nèi)）所下的總盤數(shù)（），依題意 考慮154個數(shù)：又由，即154個數(shù)中，每一個取值是從1到153的自然數(shù)，因而必有兩個數(shù)取值相等，由于時，故只能是滿足．這表明，從天到天共下了21盤棋．這個題目構造了一個抽屜原理的解題程序，并具體構造了154個“蘋果”與153個“抽屜”，其困難、同時也是精妙之處就在于想到用抽屜原理．例7 ( 273德意志民主共和國)正五邊形的五個頂點每個對應一個整數(shù),使得這五個整數(shù)的和為正．若其中三個相連頂點相應的整數(shù)依次為,而中間的,則要進行如下的調(diào)整:整數(shù)分別換為,只要所得的五個整數(shù)中至少還有一個為負數(shù)時,這種調(diào)整就繼續(xù)進行,問是否這種操作進行有限次以后必定終止．證明 （構造函數(shù)）作函數(shù)若，則進行一次操作，有相減 這表明，每經(jīng)過一次操作的值至少減少2，但為非負正數(shù)，因此，這種操作進行有限次以后必定終止例8　命題“若為無理數(shù)，則也為無理數(shù)”是否成立？解 （構造反例）不成立，構造反例如下：取無理數(shù)，考慮，（1）若為有理數(shù)，則取為反例．（2）若為無理數(shù)，則取，有，為反例．例9 編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八支籃球隊進行循環(huán)賽，每天每隊賽1場，7天賽完，請給安排一張日程表．解 （構造算法）用同余的方法來設計．先考慮1，2，3，4，5，6，7，的比賽（剩下的隊與8比賽）．如果 ，我們就安排第隊與第隊在第天比賽，這樣第天就安排第隊與第或隊比賽，每天前7個隊最多賽1場，還有1個隊滿足 兩邊乘以4，有 依次?。傻脹]有比賽的隊為4，1，5，2，6，3，7，可安排其與第8隊比賽．得到下面的日程表 第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天1，71，81，21，31，41，5 1，62，62，73，72，82，32，42，53，53，64，64，75，73，83，44，84，55，85，66，86，77，8222 對應基本思想是，通過建立數(shù)學對象或數(shù)學結構的對應，而將一個問題轉化為另一個較易解決的問題．對應思想的一個重要形式是RMI原理．如圖，令R表示一組原像的關系結構（或原像系統(tǒng)），其中包含著待確定的原像，令表示一種映射，通過它的作用，原像結構R被映成映象關系結構R*，其中自然包含著未知原像的映象．如果有辦法把確定下來，則通過反演即逆映射也就相應地把確定下來．取對數(shù)計算，換元，引進坐標系，設計數(shù)學模型，構造發(fā)生函數(shù)，變換還原等都體現(xiàn)了RMI原理．例1 甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，…直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為 ．解法１　設甲、乙兩隊的隊員按出場順序分別為和．每一個比賽過程對應著這14個元素的一個排列，且滿足的下標從左到右是遞增的，的下標從左到右也是遞增的．由于從14個位置中取出7個來，有序地排上有種排法，而剩下的7個位置有序地排上只有一種排法，所以，問題的實質(zhì)是從14個相異元素中取出7個的組合數(shù)，得種比賽過程．解法2 設甲、乙兩隊的隊員按出場順序分別為和．如果甲方獲勝，設獲勝的場數(shù)是，則而且 ①容易證明以下兩點：在甲方獲勝時（i）不同的比賽過程對應著方程①的不同非負整數(shù)解；（ii）方程①的不同非負整數(shù)解對應著不同的比賽過程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）對應的比賽過程為：勝和，勝，和，勝后負于，勝，和但負于，最后勝結束比賽．下面求方程①的非負整數(shù)解個數(shù)，設，問題等價于方程，正整數(shù)解的個數(shù)，將上式寫成，從13個加號取6個的方法數(shù)種．得甲方獲勝的不同的比賽過程有種．同理，乙方獲勝的不同的比賽過程也有種，合計種比賽過程解法3 建立下面的對應；集合的任一個7元可重組合對應著一個比賽過程，且這種對應也是一個一一對應．例如前述的比賽過程對應的7長可重組合是，所以甲方獲勝的不同的比賽過程的總數(shù)就是集合的7長可重組合的個數(shù)．同理，乙方獲勝的不同的比賽過程也有種，合計種比賽過程．例2 設是正整數(shù)，我們說集合的一個排列具有性質(zhì)，是指在當中至少有一個，使得，求證對于任何，具有性質(zhì)的排列比不具有性質(zhì)的排列的個數(shù)多．（1989，例2105，P．85） 解 顯然成立．對設不具有性質(zhì)的排列組成集合，設恰有一個元素具有性質(zhì)的排列組成集合，取，則存在，使，作對應，則，且中不同的元素在中有不同的像，得具有性質(zhì)的排列個數(shù)．例3 如果從數(shù)1，2，…，14中按由小到大的順序取出，使同時滿足 那么，所有符合上述要求的不同取法有多少種？（1989，高中） 解 由已知得4項均為非負數(shù)，相加得，于是的取法數(shù)就是不定方程 的非負整數(shù)解的個數(shù)，作一一對應問題又等價于不定方程的正整數(shù)解．由 ,得個解，即符合要求的不同取法有種． 例4 （1992高中聯(lián)賽） 設集合，若是的子集，把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”（規(guī)定空集的容量為0）．若的容量為奇（偶數(shù)），則稱為的奇（偶）子集． （1）求證：的奇子集與偶子集個數(shù)相等．（2）求證：當時，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等． （3）當時，求的所有奇子集的容量之和． 證明1 分別求解3問． （1）對，我們?nèi)∨c對應：當時，就從中取出1得；當時，就從中添上1得．于是，與一一對應，且一個為奇（偶）子集時，另一個便為偶（奇）子集，故中的奇子集與偶子集一一對應，個數(shù)相等． （2）設中的奇子集個數(shù)有個，偶子集個數(shù)有個，所有奇子集的容量之和為，所有偶子集的容量之和為，由第（1）問及中有個子集知． 1）當且為奇數(shù)時，中的奇（偶）子集由兩部分組成，其一是的奇（偶）子集，其二是的每一個偶（奇）子集與的并集，有2）當且為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，由上證，有 ．此時，中的奇（偶）子集由兩部分組成，其一是的奇（偶）子集，其二是的每一個奇（偶）子集與的并集，有 綜上得，當時． （3）由于中每個元素都出現(xiàn)在個子集中，所以的所有子集的容量為=．得 ． 證明2 同時求解3問 設中的奇子集個數(shù)有個，偶子集個數(shù)有個，所有奇子集的容量之和為，所有偶子集的容量之和為，有對，用數(shù)學歸納法證明命題（1）當時，的奇子集有，偶子集有，得命題成立．（2）現(xiàn)假設時，命題成立．即 對的子集可以分成兩部分，一部分是的子集，有；另一部分是的子集與的