【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝ab＞a＋b＝cd由此知c＝1或d＝1．因此a、b、c、d中總有一個(gè)（也只有一個(gè)）為1．如果a＝1，那么由消去b可以推出從而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2．這樣，本題的答案可以列成下表A2－013 設(shè)[r，s]表示正整數(shù)r和s的最小公倍數(shù)，求有序三元正整數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000． 【題說(shuō)】 第五屆（1987年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題 7．【解】 顯然，a、b、c都是形如2m5n的數(shù)．設(shè)a＝2m15n1，b＝2m25n2，c＝2m35n3．由[a，b]＝1000＝2353，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．由此，知m3應(yīng)是4，mm2中必有一是3．另一個(gè)可以是0、2或3之任一種，因此mm2的取法有7種．又，nnn3中必有兩個(gè)是3，另一個(gè)可以是0、2或3．因此nnn3取法有10種．故mi、ni（i＝3）不同取法共有710＝70種，即三元組共有70個(gè)．A2－014 設(shè)m的立方根是一個(gè)形如n＋r的數(shù)，這里n為正整數(shù)，r為小于1/1000的正實(shí)數(shù)．當(dāng)m是滿(mǎn)足上述條件的最小正整數(shù)時(shí)，求n的值．【題說(shuō)】 第五屆（1987年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題12．m＝n3＋1＜（n＋10－3）3＝n3＋3n210－3＋3n10－6＋10－9于是從而n＝19（此時(shí)m＝193＋1為最?。?【題說(shuō)】 第十三屆（1987年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題 1．【解】 144＝122，1444＝382設(shè)n＞3，則則k必是一個(gè)偶數(shù)．所以也是一個(gè)自然數(shù)的完全平方，但這是不可能的．因?yàn)槠椒綌?shù)除以4，因此，本題答案為n＝2，3．A2－016 當(dāng)n是怎樣的最小自然數(shù)時(shí)，方程[10n/x]＝1989有整數(shù)解？【題說(shuō)】 第二十三屆（1989年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題 1．【解】 1989≤10n/x＜1990所以10n/1990＜x≤10n/1989即10n…＜x≤10n…所以n＝7，這時(shí)x＝5026與5027是解．A2－017 設(shè)an＝50＋n2，n＝1，2，…．對(duì)每個(gè)n，an與an＋1的最大公約數(shù)記為dn．求dn的最大值．【題說(shuō)】 1990年日本第1輪選拔賽題 9．【解】dn＝（an，an＋1）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）＝（2（n2＋50），2n＋1）（因 2n＋1是奇數(shù)）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）＝（100－ n，2n＋1＋2（100－ n））＝（100－n，201）≤201在n＝100≠201k（k∈N）時(shí)，dn＝201．故所求值為201． A2－018 n是滿(mǎn)足下列條件的最小正整數(shù)：（1）n是75的倍數(shù)；（2）n恰為 75個(gè)正整數(shù)因子（包括1及本身）．試求n/75．【題說(shuō)】 第八屆（1990年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題5．【解】 為保證 n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，可設(shè)n＝2α3β5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75由75＝523，易知當(dāng)α＝β＝4，γ＝2時(shí)，符合條件（1）、（2）．此時(shí)n＝243452，n/75＝432．第十講整數(shù)問(wèn)題。求解問(wèn)題之四 A2－019 1．求出兩個(gè)自然數(shù)x、y，使得xy＋x和xy＋y分別是不同的自然數(shù)的平方． 2．能否在988至1991范圍內(nèi)求到這樣的x和y？【題說(shuō)】 第二十五屆（1991年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題5．【解】 1．例如x＝1，y＝8即滿(mǎn)足要求．2．假設(shè)988≤x＜y≤1991x、y∈N，使得xy＋x與xy＋y是不同的自然數(shù)的平方，則x2＜xy＋x＜xy＋y這時(shí)y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）＞（x＋1）2－x2＝2x＋1即y＞3x＋1由此得1991≥y＞3x＋1≥3998＋1矛盾！故在988與1991之間不存在這樣的自然數(shù)x、y． A2－020 求所有自然數(shù)n，使得這里[n/k2]表示不超過(guò)n/k2的最大整數(shù)，N是自然數(shù)集．【題說(shuō)】 1991年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 5．【解】 題給條件等價(jià)于，對(duì)一切k∈N，k2＋n/k2≥1991 （1）且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992． （2）（1）等價(jià)于對(duì)一切k∈N，k4－1991k2＋n≥0即 （k2－1991/2）2＋n－19912/4≥0 （3）故（3）式左邊在k取32時(shí)最小，因此（1）等價(jià)于n≥1991322－324＝1024967又，（2）等價(jià)于存在k∈N，使（k2－996）2＋n－9962＜0上式左邊也在k＝32時(shí)最小，故（2）等價(jià)于n＜1992322－324＝1024968故n為滿(mǎn)足1024967≤n≤1024967＋1023的一切整數(shù)．A2－021 設(shè)n是固定的正整數(shù)，求出滿(mǎn)足下述性質(zhì)的所有正整數(shù)的和：在二進(jìn)制的數(shù)字表示中，正好是由2n個(gè)數(shù)字組成，其中有n個(gè)1和n個(gè)0，但首位數(shù)字不是0．【題說(shuō)】 第二十三屆（1991年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題2．【解】 n＝1，易知所求和S1＝2．n≥2時(shí)，首位數(shù)字為1的2n位數(shù)，在其余2n－1位上，只要n個(gè)0的位置確定了．則n－1個(gè)1的位置也就確定了，從而這個(gè)2n位二進(jìn)制數(shù)也隨之確定．現(xiàn)考慮第k（2n＞k≥1）位數(shù)字是1的數(shù)的個(gè)數(shù)．因?yàn)槠渲衝個(gè)0的位置只可從2n－2個(gè)位置（除去首位和第k位）中選擇，故這樣的將所有這樣的2n位二進(jìn)制數(shù)相加，按數(shù)位求和，便有 A2－022 在{1000，1001，1002，…，2000}中有多少對(duì)相鄰的數(shù)滿(mǎn)足下列條件：每對(duì)中的兩數(shù)相加時(shí)不需要進(jìn)位？【題說(shuō)】 第十屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題6．7或 8時(shí)，則當(dāng)n和n＋1相加時(shí)將發(fā)生進(jìn)位．再若b＝9而c≠9；a＝9而b≠9或c≠9．則當(dāng)n和n＋1相加時(shí)也將發(fā)生進(jìn)位．如果不是上面描述的數(shù)，則n有如下形式其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}．對(duì)這種形式的n，當(dāng)n和n＋1相加時(shí)不會(huì)發(fā)生進(jìn)位，所以共有53＋52＋5＋1＝156個(gè)這樣的n．A2－023 定義一個(gè)正整數(shù)n是一個(gè)階乘的“尾”，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得m！的十進(jìn)位制表示中，結(jié)尾恰好有n個(gè)零，那么小于1992的正整數(shù)中有多少個(gè)不是階乘的尾？【題說(shuō)】 第十屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題15．【解】 設(shè)f（m）為m！的尾．則f（m）是m的不減函數(shù)，且當(dāng)m是5的倍數(shù)時(shí)，有f（m）＝f（m＋1）＝f（m＋2）＝f（m＋3）＝f（m＋4）＜f（m＋5）因此，從f（0）＝0開(kāi)始，f（m）依次取值為：0，0，0，0，0；1，1，1，1，1；2，2，2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4；6，6，6，6，6；…；1991，1991，1991，1991，1991容易看出如果存在m使f（m）＝1991，則因而m＞41991＝7964．由公式（1）可計(jì)算出f（7965）＝1988，從而f（7975）＝1991．在序列（1）中共有7980項(xiàng)，不同的值有7980/5＝1596個(gè)．所以在{0，1，2，…，1991}中，有1992－1596＝396個(gè)值不在（1）中出現(xiàn)．這就說(shuō)明，有396個(gè)正整數(shù)不是階乘的尾．第十一講：整數(shù)問(wèn)題：求解問(wèn)題之五 A2－024 數(shù)列{an}定義如下：a0＝1，a1＝2，an＋2＝an＋（an＋1）2．求a1992除以7所得的余數(shù)． 【題說(shuō)】 1992年日本數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選賽題1．【解】 考慮an以7為模的同余式：a0＝1≡1（mod 7）a1＝2≡2（mod 7）a1＝1＋22＝5≡－2（mod 7）a3≡2＋（－2）2＝6≡－1（mod 7）a4≡－2＋（－1）2＝－1（mod 7）a5≡－1＋（－1）2＝0（mod 7）a6≡－1＋02＝－1（mod 7）a7≡0＋（－1）2＝1（mod 7）a8≡－1＋12＝0（mod 7）a9≡1＋02＝1（mod 7）a10≡0＋12＝1（mod 7）a11≡1＋12＝2（mod 7）所以，an除以7的余數(shù)以10為周期，故a1992≡a2≡5（mod 7）． A2－025 求所有的正整數(shù)n，滿(mǎn)足等式S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝…＝S（n2）其中S（x）表示十進(jìn)制正整數(shù)x的各位數(shù)字和．【題說(shuō)】 1992年捷克和斯洛伐克數(shù)學(xué)奧林匹克（最后一輪）題 3．【解】 顯然，n＝1滿(mǎn)足要求．由于對(duì)正整數(shù)x，有S（x）≡x（mod 9），故當(dāng)n＞1時(shí)，有n≡S（n）≡S（2n）≡2n（mod 9）所以9|n．若n是一位數(shù)，則n＝9，又S（9）＝S（29）＝S（39）＝…＝S（92）＝9，故9滿(mǎn)足要求．10k≤n＜10k＋1又9 10k，故10k＋1≤n＜10k＋1若n＜10k＋10k－1＋…＋10＋1，則與已知矛盾，從而n≥10k＋10k－1＋…＋10＋1（1）令n＝9m．設(shè)m的位數(shù)為l（k≤l≤k＋1），m－1＝S（n）＝S（（10k＋10k－1＋…＋10＋1）n）＝S（（10k＋1－1）m）＝S（10k＋1（m－1）＋（10k＋1－10l）＋（10l－m））其中9有k＋1－l個(gè)，bi＋ci＝9，i＝1，2，…，l．所以S（n）＝9（k＋1） （2）由于n是 k＋1位數(shù)，所以 n＝99…9＝10k＋1－1．另一方面，當(dāng) n＝99…9＝10k＋1－1時(shí)，S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝…＝S（n2）．綜上所述，滿(mǎn)足要求的正整數(shù)為n＝1及n＝10k－1（k≥1）．A2－026 求最大正整數(shù)k，使得3k|（23m＋1），其中m為任意正整數(shù)．【題說(shuō)】 1992年友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽十、十一年級(jí)題 2．【解】 當(dāng)m＝1時(shí)，23m＋1＝9，故k≤2．又由于23m＋1＝（23）3m－1＋1≡（－1）3m－1＋1（mod 9）＝0所以，對(duì)任意正整數(shù)m，9|（23m＋1）．即所求k的值為2． 最大整數(shù)．【題說(shuō)】 1993年全國(guó)聯(lián)賽一試題2（4），原是填空題．【解】 因?yàn)?093＋33＝（1031）3＋33＝（1031＋3）（（1031）2－31031＋32）＝（1031）（1031－3）＋9－1它的個(gè)位數(shù)字是8，十位數(shù)字是0． A2－028 試求所有滿(mǎn)足如下性質(zhì)的四元實(shí)數(shù)組：組中的任一數(shù)都等于其余三個(gè)數(shù)中某兩個(gè)數(shù)的乘積．【題說(shuō)】 第十九屆（1993年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)二試題5．【解】 設(shè)這組數(shù)的絕對(duì)值為a≤b≤c≤d．無(wú)論a為b，c，d哪兩個(gè)數(shù)的乘積，均有a≥bc，類(lèi)似地，d≤bc．從而，bc≤a≤b≤c≤d≤bc，即a＝b＝c＝d＝a2．所以a＝0或1，不難驗(yàn)證，如果組中有負(fù)數(shù)，則負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為2或3．所以，答案為{0，0，0，0}，{1，1，1，1}，{－1，－1，1，1}，{－1，－1，－1，1}．第十二講整數(shù)問(wèn)題：求解問(wèn)題之六 A2－029 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）有性質(zhì)f（x）＋f（x－1）＝x2．如果f（19）＝94，那么f（94）除以1000的余數(shù)是多少？ 【題說(shuō)】 第十二屆（1994年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題3．【解】 重復(fù)使用f（x）＝x2－f（x－1），有f（94）＝942－f（93）＝942－932＋f（92）＝942－932＋922－f（91）＝…＝942－932＋922－…＋202－f（19）＝（94＋93）（94－93）＋（92＋91）（92－91）＋…＋（22＋21）（22－21）＋202－94＝（94＋93＋92＋…＋21）＋306＝4561因此，f（94）除以1000的余數(shù)是561．A2－030 對(duì)實(shí)數(shù)x，[x]表示x的整數(shù)部分，求使[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2n]＝1994成立的正整數(shù)n．【題說(shuō)】 第十二屆（1994年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題 4．【解】 [long21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2128]＋[log2129]＋…＋[log2255]＝21＋42＋83＋164＋325＋646＋1287＝1538． A2－031 對(duì)給定的一個(gè)正整數(shù)n．設(shè)p（n）表示n的各位上的非零數(shù)字乘積（如果n只有一位數(shù)字，那么p（n）等于那個(gè)數(shù)字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋…＋p（999），則S的最大素因子是多少？【題說(shuō)】 第十二屆（1994年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題5．【解】 將每個(gè)小于1000的正整數(shù)作為三位數(shù)，（若位數(shù)小于3，則前面補(bǔ)0，如 25可寫(xiě)成 025），所有這樣的正整數(shù)各位數(shù)字乘積的和是（000＋001＋002＋…＋998＋999）－000＝（0＋1＋2＋…＋9）3－0p（n）是n的非零數(shù)字的乘積，這個(gè)乘積的和可以由上面表達(dá)式將0換成1而得到．因此，＝463－1＝3357103最大的素因子是103． A2－032 求所有不相同的素?cái)?shù)p、q、r和s，使得它們的和仍是素?cái)?shù)，并且p2＋qs及p2＋qr都是平方數(shù)．【題說(shuō)】 第二十屆（1994年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題7．【解】 因?yàn)樗膫€(gè)奇素?cái)?shù)之和是大于2的偶數(shù)，所以所求的素?cái)?shù)中必有一個(gè)為偶數(shù)2．若p≠2，則p2＋qs或p2＋qr中有一個(gè)形如（2k＋1）2＋2（2l＋1）＝4（k2＋k＋l）＋3，這是不可能的，因?yàn)槠鏀?shù)的平方除以4的余數(shù)是1，所以p＝2．設(shè)22＋qs＝a2，則qs＝（a＋2）（a－2）．若a－2＝1，則qs＝5，因?yàn)閝、s是奇素?cái)?shù)，所以上式是不可能的．于是只能是q＝a－2， s＝a＋2或者q＝a＋2，