高中物理競賽——振動及波習題(編輯修改稿)
2025-07-05 00:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。的話，小角度單擺可以視為簡諧運動，周期也可以求出來。答案：小球以繩偏離豎直方向θ= arctg的角度為平衡位置做最大擺角為θ的單擺運動，如果θ≤5176。，則小球的擺動周期為T = 2π物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長，且懸點不等高，相關數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2 + b2 = + ，試求它的周期（認為人的體積足夠小）。模型分析：用C球替代人，它實際上是在繞AB軸擺動，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcosθ= g ，等效擺長l = ，如圖15所示。由于a2 + b2 = + 可知，AC⊥CB ，因此不難求出= ，最后應用單擺周期公式即可。答案：T = 2π 。相關變換1：如圖16所示，質量為M的車廂中用長為L的細繩懸掛著一個質量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計，試求這個系統(tǒng)做微小振動的周期。分析：我們知道，證明小角度單擺作簡諧運動用到了近似處理。在本題，也必須充分理解“小角度”的含義，大膽地應用近似處理方法。解法一：以車為參照，小球將相對一個非慣性系作單擺運動，在一般方位角θ的受力如圖17所示，其中慣性力F = ma ，且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動，故回復力F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ①*由于球作“微小”擺動，其圓周運動效應可以忽略，故有T + Fsinθ≈ mgcosθ ②再隔離車，有 Tsinθ= Ma ③解①②③式得 F回 = *再由于球作“微小”擺動，sin2θ→0 ，所以 F回 = ④令擺球的振動位移為x ，常規(guī)處理 sinθ≈ ⑤解④⑤即得 F回 = x 顯然， = k是恒定的，所以小球作簡諧運動。最后求周期用公式即可。解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質心無加速度。小球可以看成是繞此質心作單擺運動，而新擺長L′會小于L 。由于質心是慣性參照系，故小球的受力、回復力的合成就很常規(guī)了。若繩子在車內(nèi)的懸掛點在正中央，則質心在水平方向上應與小球相距x = Lsinθ，不難理解，“新擺長”L′= L 。（從嚴謹?shù)囊饬x上來講，這個“擺長”并不固定：隨著車往“平衡位置”靠近，它會加長。所以，這里的等效擺長得出和解法一的忽略圓周運動效應事實上都是一種相對“模糊”的處理。如果非要做精準的運算，不啟用高等數(shù)學工具恐怕不行。）答：T = 2π 。相關變換2：如圖18所示，有一個均質的細圓環(huán)，借助一些質量不計的輻條，將一個與環(huán)等質量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根豎直的、長度均為L且不可伸長的輕繩將這個物體懸掛在天花板上，環(huán)上三個結點之間的距離相等。試求這個物體在水平方向做微小扭動的周期。分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問題一樣，分析振動也有動力學途徑和能量兩種途徑，此處若援用動力學途徑尋求回復力系數(shù)k有相當?shù)碾y度，因此啟用能量分析。本題的任務不在簡諧運動的證明，而是可以直接應用簡諧運動的相關結論。根據(jù)前面的介紹，任何簡諧運動的總能都可以表達為E = kA2
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