考研數(shù)學(xué)重難點筆記(編輯修改稿)
2025-07-04 22:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 enet公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，如切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與CauchyCrofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與FaryMilnor定理。曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標(biāo)架與基本公式；Weingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)；Gauss映照與第三基本形式；全臍曲面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的平行移動?；疽螅和ㄟ^本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微分幾何的一些常用方法。以便為以后進一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和分析問題解決問題的能力。二、講授綱要第一章 三維歐氏空間的曲線論 167。1 曲線 曲線的切向量 弧長教學(xué)要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數(shù)表示曲線。167。2 主法向量與從法向量 曲率與擾率 教學(xué)要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概念，會計算曲率與撓率。167。3 Frenet標(biāo)架 Frenet公式 教學(xué)要求：掌握Frenet公式，能運用Frenet公式去解決實際問題。167。4 曲線在一點鄰近的性質(zhì) 教學(xué)要求：能表達曲線在一點領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號的集合意義。167。5 曲線論基本定理 教學(xué)要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。167。6 平面曲線的一些整體性質(zhì)6．1 關(guān)于閉曲線的一些概念6．2 切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理6．3 凸曲線*6．4 等周不等式*6．5 四頂點定理*6．6 CauchyCrofton公式*教學(xué)要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線、切線像、相對全曲 率、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡單閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與CauchyCrofton公式。167。7 空間曲線的整體性質(zhì) 7．1 球面的Crofton公式*7．2 Fenchel定理*7．3 FaryMilnor定理* 教學(xué)要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與FaryMilnor定理。第二章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何 167。1 曲面的表示 切向量 法向量 1．1 曲面的定義1．2 切向量 切平面1．3 法向量1．4 曲面的參數(shù)表示1．5 例1．6 單參數(shù)曲面族 平面族的包絡(luò)面 可展曲面教學(xué)要求：掌握曲面的三
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