【文章內(nèi)容簡介】 問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)。由已知，是正方形，有?！咂矫?，∴是在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。作，垂足為，連結(jié)，則所以為二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。設(shè)點到平面的距離為.∵即，∴，即，∴.故點到平面的距離為。解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）由，得設(shè)，又，則?！摺鄤t異面直線與所成的角為。（Ⅱ）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則∴. ①由，得，則，即∴ ②由①、②，可取又，所以點到平面的距離。 點評：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容,本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較容易寫出來.考點四 探索性問題7. （2007年4月濟南市）如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90176。 （1）求BD和面BEF所成的角的余弦； （2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。1,3,5解析：，再去推理，下結(jié)論： ，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），則設(shè)平面BEF的法向量，則可取，∴向量所成角的余弦為。即BD和面BEF所成的角的余弦。 （2）假設(shè)線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點坐標(biāo)為則向量，向量所以。 點評：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。8. (2007安徽文) 如圖，在三棱錐中，，是的中點，且，．ＶAＣＤＢ（I）求證：平面平面；（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ） 過點在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．依題意，所以在中，；在中，．，．故當(dāng)時，直線與平面所成的角為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，．從而，即．ADBCVxyz同理，即．又，平面．又平面．平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，則由．得可取，又，于是，即，．故交時，直線與平面所成的角為．解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，．從而，即．同理，即．又， 平面．又平面， 平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，ADBCVxy則由，得可取，又，于是，即． 故角時，即直線與平面所成角為． 點評：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運用更多的是建空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解考點五 折疊、展開問題9．（2006年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 (I) 證明平面。(II)若為正三角形,試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值 分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB//FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形 BF//ED.,平面 (II)如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD ACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角ADEC的平面角 即.設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, . 在RtADE中, ., 點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.考點六 球體與多面體的組合問題10．設(shè)棱錐MABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.記E是AD的中點，從而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則r＝設(shè)AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝1。當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時，等號成立.∴當(dāng)AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為1.點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。二、 方法總結(jié) 高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1．位置關(guān)系：（1）．兩條異面直線相互垂直 證明方法：證明兩條異面直線所成角為90186。；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）．直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直。（3）．直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。（4）．平面和平面相互垂直證明方法：證明這兩個平面所成二面角的平面角為90186。；證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；證明兩個平面的法向量相互垂直。2．求距離：求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。（1）．兩條異面直線的距離求法：利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）（2）．點到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利用公式（其中A為已知點，B為這個平面內(nèi)的任意一點，這個平面的法向量）3．求角（1）．兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）．直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。（3）．平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求（在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）；向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。 我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！4．解題注意點（1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如。（2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。（3）．用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出cosα＝x，則這兩條異面直線所成的角為α＝arccos|x|（4）．在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。（5）．求二面角時，若用第、種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。（二）2008年高考預(yù)測