數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性(編輯修改稿)
2025-07-04 20:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定理即得所證. 例2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)， 試證明： 使 例3 設(shè) 試證明：方程 在區(qū)間 內(nèi)有實根. 例4 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)且 則 在 內(nèi)有最小值. 與 比較. 例5 設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間I上連續(xù), 且在I的有理點 ,有 證明: 在I上 . 例6 設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間I上一致連續(xù). 證明函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù). 例7 設(shè)函數(shù) 在有限開區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 則 在有限開區(qū)間 內(nèi)一致連續(xù), 和 存在( 有限 ). 例8 設(shè)函數(shù) 在有限開區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 則 在內(nèi)一致連續(xù), 在 內(nèi)一致連續(xù). 第四章 函數(shù)的連續(xù)性l 引言在數(shù)學(xué)分析中，要研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。從今天開始，我們就來看看這類函數(shù)的特點。主要講以下幾個問題：１． 什么是“函數(shù)的連續(xù)性”？２． “間斷”或“不連續(xù)”有哪些情形？３． 連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？４． 初等函數(shù)的連續(xù)性有何特點？167。１ 連續(xù)性概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念。教學(xué)要求：（１）使學(xué)生深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)包括單側(cè)連續(xù)的定義，并能熟練寫出函數(shù)在一點連續(xù)的各種等價敘述；（２）應(yīng)使學(xué)生從分析導(dǎo)致函數(shù)在一點不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點間斷以及函數(shù)間斷點的概念，從反面加深對函數(shù)在一點連續(xù)這一概念的理解力并能熟練準(zhǔn)確地識別不同類型的間斷點；（３）明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是以函數(shù)在一點連續(xù)的概念為基礎(chǔ)的，使學(xué)生清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內(nèi)涵。教學(xué)重點：函數(shù)連續(xù)性概念。教學(xué)難點：函數(shù)連續(xù)性概念。教學(xué)程序：l 引言“連續(xù)”與“間斷”（不連續(xù)）照字面上來講，是不難理解的。例如下圖１中的函數(shù)，我們說它是連續(xù)的，而圖２中的函數(shù)在處是間斷的。由此可見，所謂“連續(xù)函數(shù)”，從幾何上表現(xiàn)為它的圖象是坐標(biāo)平面上一條連綿不斷的曲線。而所謂“不連續(xù)函數(shù)”從幾何上表現(xiàn)為它的圖象在某些點處“斷開”了。當(dāng)然，我們不能滿足于這種直觀的認識，因為單從圖形上看是不行的，圖形只能幫助我們更形象地理解概念，而不能揭示概念的本質(zhì)屬性。例如，可以舉出這樣的例子，它在(0,1)內(nèi)的任意無理數(shù)點都連續(xù)但卻無法用圖形表示出來（如Rieman函數(shù)）。因此，為了給出“連續(xù)”的定義，需要對此作進一步分析和研究。從圖２看出，在處，函數(shù)值有一個跳躍，當(dāng)自變量從左側(cè)的近傍變到右側(cè)的近旁時，對應(yīng)的函數(shù)值發(fā)生了顯著的變化。而在其它點處（如處），情況則完全相反。：當(dāng)自變量從向左側(cè)或向右側(cè)作微小改變時，對應(yīng)的函數(shù)值也只作微小的改變；這就是說，當(dāng)自變量靠近時，函數(shù)值就靠近，而當(dāng)時。換句話說，當(dāng)時，以為極限，即。根據(jù)這一分析，引入下面的定義：一 函數(shù)在一點的連續(xù)性１． 函數(shù)在點連續(xù)的定義定義１（在點連續(xù)）設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若，則稱在點連續(xù)。注 ，即“在點連續(xù)”意味著“極限運算與對應(yīng)法則可交換。２．例子例１．在處連續(xù)。例２．。例３．討論函數(shù)在點x=0處連續(xù)性。３．函數(shù)在點連續(xù)的等價定義１） 記號：——自變量在點的增量或改變量。設(shè)，——函數(shù)在點的增量。注：自變量的增量或函數(shù)的增量可正、可負、也可為零。（區(qū)別于“增加”）。２） 等價定義１：函數(shù)在點連續(xù)。３） 等價定義２：函數(shù)在點連續(xù)，當(dāng)時。注：一個定義是等價的，根據(jù)具體的問題選用不同的表述方式。如用三種定義，可以證明以下命題：例４．證明函數(shù)在點連續(xù)，其中為Dirichlet函數(shù)。４．函數(shù)在點有極限與函數(shù)在點連續(xù)之間的關(guān)系１） 從對鄰域的要求看：在討論極限時，假定在內(nèi)不定義（在點可以沒有定義）。而在點連續(xù)則要求在某內(nèi)有定義（包括）。２） 在極限中，要求，而當(dāng)“在點連續(xù)”時，由于x=時，恒成立。所以換為：.３） 從對極限的要求看：“在點連續(xù)”不僅要求“在點有極限”，而且；而在討論時，不要求它等于，甚至于可以不存在?？偟膩碇v，函數(shù)在點連續(xù)的要求是：①在點有定義；②存在；③.
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