【文章內(nèi)容簡介】 具有分布：，求、及。解， +4+4=27：，求及。解 ， ：，問是否有數(shù)學期望？解 ，因為級數(shù)發(fā)散，所以沒有數(shù)學期望。 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。 ，用航空測量法測得邊長的誤差為：, ，，求場地面積的數(shù)學期望。解 設場地面積為，邊長的誤差為米，則且所以 對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為、。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學++。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則，所以++。 如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學期望。解 設，則的分布列為，因而。設為查得的不合格品數(shù)，則，所以。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。解 設為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則，于是。 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學期望。解 設則的分布列為：于是，設匹配數(shù)為，則，因而。 設為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明：(1) 。(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而。(2) 存在，所以級數(shù)也絕對收斂，從而 在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為，試驗進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。解 設成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為，則，利用上題的結(jié)論，+=1+ 從一個裝有個白球、個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學期望。解 略。 對一批產(chǎn)品進行檢驗，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認為這批產(chǎn)品不合格。設產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率，當生產(chǎn)出個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學期望與方差。解 設第個不合格出現(xiàn)后到第個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為，又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，則因獨立同分布，由此得：。 設隨機變量與獨立，且方差存在，則有（由此并可得）證明 在整數(shù)0到9中先后按下列兩種情況任取兩個數(shù)，記為和：(1)第一個數(shù)取后放回，再取第二個數(shù)；(2)第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù)，求在的條件下的分布列。解 (1) .(2) , 在次貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。解 。 設隨機變量，相互獨立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 設，…，為個相互獨立隨機變量，且服從同一幾何分布，即有。試證明在的條件下，的分布是均勻分布，即，其中.證明 由于，…，相互獨立且服從同一幾何分布，所以。從而。第三章 連續(xù)型隨機變量 設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為，試以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）； （2）； （3）=1； （4）。 函數(shù)是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果（1）（2）0，在其它場合適當定義；（3），在其它場合適當定義。解：（1）在（）內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機變量的分布函數(shù)； （2）在（0，）內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機變量的分布函數(shù)； （3）在（內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且，若定義則可以是某一隨機變量的分布函數(shù)。 函數(shù)是不是某個隨機變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。解：（1）當時，且=1，所以可以是某個隨機變量的分布密度； （2）因為=2，所以不是隨機變量的分布密度； （3）當時，所以 不是隨機變量的分布密度。 設隨機變數(shù)具有對稱的分布密度函數(shù)，即證明：對任意的有（1）； （2）P（； （3）。 證：（1） = = ； （2），由（1）知1 故上式右端=2； （3）。 設與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。證明也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為與都是分布函數(shù)，當時，，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時顯然，與對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。 設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為求相應的密度函數(shù)，并求。解：，所以相應的密度函數(shù)為。 設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為求常數(shù)及密度函數(shù)。解：因為，所以，密度函數(shù)為 隨機變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應的密度函數(shù)。解：因為 所以因而。 已知隨機變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應的分布函數(shù)；（2） 求。解： ，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=。(3),所以。 在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點P,求的分布函數(shù)。解：當0時所以 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬度，,若每天的供電量為90萬度。 設隨機變數(shù)服從（0，5）上的均勻分布，求方程有實根的概率。 解：當且僅當 （1）成立時，方程有實根。不等式（1）的解為：或。因此，該方程有實根的概率。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求。解：（1） =； （2） =即所以即 設為分布的分布函數(shù)，證明當時，有 證： = =所以 。 證明：二元函數(shù) 對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數(shù)。 證：（1）設，若，由于，所以，若，則。當時，； 當時。所以 。 可見，對非降。同理，對非降。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。 （3）。 （4）， 所以不是一個分布函數(shù)。 設二維隨機變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當，時， ===所以 設二維隨機變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應的分布函數(shù)；（3） 求。解：（1），所以； （2）時， =，所以 （3） = =。3．25 設二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求