數(shù)學(xué)歸納法高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)課時訓(xùn)(編輯修改稿)
2025-07-04 19:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 N*,n≥4時，＞Sn+1都成立. 14分綜上所述，當(dāng)n=1,2,3時，＜Sn+1,當(dāng)n≥4時，＞Sn+1. 16分：對任意的nN*,1++…+=++…+.證明 （1）當(dāng)n=1時，左邊=1===右邊，∴等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，等式成立，即1++…+=++…+.則當(dāng)n=k+1時,1++…++=++…++=++…+++()=++…+++,即當(dāng)n=k+1時，等式也成立，所以由（1）（2）知對任意的n∈N*等式成立.：二項式x2ny2n (n∈N*)能被x+y整除.證明 （1）當(dāng)n=1時，x2y2=(x+y)(xy),能被x+y整除，命題成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1,k∈N*）時，x2ky2k能被x+y整除，那么當(dāng)n=k+1時，x2k+2y2k+2=x2x2ky2y2k=x2x2kx2y2k+x2y2ky2y2k=x2(x2ky2k)+y2k(x2y2),顯然x2k+2y2k+2能被x+y整除，即當(dāng)n=k+1時命題成立.由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n命題均成立.,n為正整數(shù).用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞1時，(1+x)m≥1+mx.證明 （1）當(dāng)m=1時，原不等式成立；當(dāng)m=2時，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因為x2≥0,所以左邊≥右邊，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)m=k(k≥1,k∈N*)時，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,則當(dāng)m=k+1時，∵x＞1,∴1+x＞0.于是在不等式(1+x)k≥1+kx兩邊同時乘以1+x得(1+x)k（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即當(dāng)m=k+1時，不等式也成立.綜合（1）（2）知，對一切正整數(shù)m,不等式都成立.{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；（2）證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.（1）解 ∵an=SnSn1（n≥2）∴Sn=n2（SnSn1），∴Sn=Sn1（n≥2）∵a1=1，∴S1=a1=1.∴S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）.（2）證明 ①當(dāng)n=1時，S1=1成立.②假設(shè)
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