全等三角形中的熱點(diǎn)問題(編輯修改稿)
2025-07-04 15:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，寫出一個(gè)正確命題(只需寫出一種情況)，并加以證明。27．(本題9分) 如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連結(jié)AE、BE．給出下列五個(gè)關(guān)系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個(gè)關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題．(1)用序號(hào)寫出一個(gè)真命題(書寫形式如：如果，那么)，并給出證明： (2)用序號(hào)再寫出三個(gè)真命題(不要求證明)；(3)加分題：真命題不止以上四個(gè)，想一想，就能夠多寫出幾個(gè)真命題，每多寫出一個(gè)真命題就給你加1分，最多加2分．27．解：(1)如果①②③，那么④⑤ 證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F ∵AD∥BC ∴∠1=∠F 又∵∠AED=∠CEF，DE=EC∴△ADE≌△FCE ∴AD=CF，AE=EF ∵∠l=∠F，∠1=∠2．∠2=∠F ∴AB=BF∴∠3=∠4 ∴AD+BC=CF+BC=BF=AB (說明：其它真命題的證明可參照上述過程相應(yīng)給分) (2)如果①②④，那么③⑤ 如果①③④，那么②⑤ 如果①③⑤，那么②④ (3)若(1)(2)中四個(gè)命題含假命題(“如果②③④，那么①⑤’’)，則不加分；若(3)中含假命題，也不加分．21(本題滿分8分)如圖，下面四個(gè)條件中，請(qǐng)你以其中兩個(gè)為已知條件，第三個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題(只需寫出一種情況)．21．證明：條件①AE=AD AB=AC ②AB=AC ∠B=∠C ③AE=AD ∠B=∠C 例15如圖，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，試探究：BE與DF是否相等？．剖析：欲證BE＝DF，需證△ABE≌△CDF，要證這兩個(gè)三角形全等．已經(jīng)具備了兩組條件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再證∠A＝∠C即可．那么再觀察∠A、∠C還是哪兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角．由條件AD＝CB，AB＝CD，很明顯看出，若連結(jié)BD，那么△ABD與△CDB全等的條件已經(jīng)具備，結(jié)論即可得證．解：相等。理由：連結(jié)BD在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SSS)∴∠A＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．∵AD＝CB、DE＝BF(已知)，∴AD＋DE＝CB＋BF ，即 AE＝CF．在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴BE＝DF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．說明：(1)在解決有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常遇到已知條件與結(jié)論無法溝通的狀況，這時(shí)，便需添加輔助線，創(chuàng)造條件，為推出結(jié)論服務(wù)．(2)利用全等三角形證明線段相等或角相等，常需添輔助線構(gòu)造三角形，構(gòu)造時(shí)有下面兩種情況：①待證的線段或角，在圖形上不在兩個(gè)可能全等的三角形中，需添輔助線構(gòu)造三角形，使它們分別包括一個(gè)所要證的線段或角；②有些條件具備的全等三角形，圖形中沒能直接顯示出來，需添輔助線才能發(fā)現(xiàn)，如本題中的△ABD和△CDB．例16．已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，(1)若E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，求證：EH＝FG．(2)若連結(jié)AD、BC交于點(diǎn)P，問AD、BC有何關(guān)系？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：連結(jié)AD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD．在△BEH和△CFG中，∴△BEH≌△CFG∴EH＝FG．(2)AD垂直于BC，且平分BC，設(shè)AD、BC交于P．由(1)得∠BAP＝∠CAP，易證△BAP≌△CAP，∴PB＝PC，∠APB＝∠APC，又∠APB＋∠APC＝180176。，∴∠APB＝90176。，故AD⊥BC且AD平分BC說明：(1)全等三角形除可得到等角、等邊，還可根據(jù)等角、等邊進(jìn)一步推出圖形還具有的一些性質(zhì)，如兩線平行，兩線垂直，此例中第一次全等為第三次全等提供了條件．由此可以看出全等三角形這一知識(shí)所起的工具性作用．(2)通過前面的學(xué)習(xí)我們可以看到，在有關(guān)全等三角形證明的問題中，常常涉及到以下兩類基本圖形：第一類是有關(guān)角的，如圖，這三個(gè)圖形的共同特征是兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)角有“公共部分”．第二類是關(guān)于邊的，如圖．這三個(gè)圖形的共同特征是兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)邊有“公共部分”．熟練掌握這些基本圖形的特征，并能從比較復(fù)雜的圖形中分離出這些基本圖形，充分利用公共邊或公共角的關(guān)系，能幫助我們很快找到證明思路．例18．某溫室有一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖
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