專題6：函數(shù)的圖像與性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-07-04 13:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 +b1，則有，解得?！嘀本€l的解析式為y=x+3。同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3。綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線平行和平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）A、B點為拋物線與x軸交點，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根據(jù)題意求出△ACD中AC邊上的高，設(shè)為h．在坐標平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據(jù)等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標軸的交點即為所求的D點．從一次函數(shù)的觀點來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點坐標。這樣的平行線有兩條。（3）本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義．因為過A、B點作x軸的垂線，其與直線l的兩個交點均可以與A、B點構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮，以AB為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據(jù)圓周角定理，切點與A、B點構(gòu)成直角三角形．從而問題得解。這樣的切線有兩條。6. （2012廣東梅州8分）一輛警車在高速公路的A處加滿油，以每小時60千米的速度勻速行駛．已知警車一次加滿油后，油箱內(nèi)的余油量y（升）與行駛時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示的直線l上的一部分．（1）求直線l的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果警車要回到A處，且要求警車中的余油量不能少于10升，那么警車可以行駛到離A處的最遠距離是多少？【答案】解：（1）設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，由圖示，直線經(jīng)過（1，45），（3，42）兩點，得 ，解得。∴直線l的解析式是：y=﹣6x+60。（2）由題意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤?！嗑囎钸h的距離可以到：千米?！究键c】一次函數(shù)和一元一次不等式的應用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）根據(jù)直線l的解析式是y=kx+b，將（3，42），（1，54）代入求出即可。（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范圍，從而得出警車行駛的最遠距離。7. （2012廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩根為xx2；求證：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（﹣1，﹣1），設(shè)線段AB的長為d，當p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。 設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴當p=2時，d 2的最小值是4。【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接證得。 【教材中沒有元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可先根據(jù)求根公式得出xx2的值，再求出兩根的和與積即可】（2）把點（﹣1，﹣1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式，應用二次函數(shù)的最值原理即可得出結(jié)論。8. （2012廣東汕頭9分）如圖，直線y=2x﹣6與反比例函數(shù)的圖象交于點A（4，2），與x軸交于點B．（1）求k的值及點B的坐標；（2）在x軸上是否存在點C，使得AC=AB？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∵點A（4，2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴把（4，2）代入反比例函數(shù)，得k=8。把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3?！郆點坐標是（3，0）。（2）存在。假設(shè)存在，設(shè)C點坐標是（a，0），則∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5。解得a=5或a=3（此點與B重合，舍去）?！帱cC的坐標是（5，0）?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，勾股定理。
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