【文章內(nèi)容簡介】 “已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。2． 上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列an滿足limx174。0an=a,a0，判斷級數(shù)229。(a+1)n的斂散性。關(guān)鍵步驟是：由a1+1nn1a+11得到n(an+1)n(a)，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知+1一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。冪級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題是重點 （1，1）23nnn=0165。ln(1+u)=uu+u+(1)(165。,+165。) 11122133nun+1n+1+=229。(1)n=0165。nun+1n+1 4. e=1+u+u++u+=229。u2!2n!nn=0165。unn! (165。,+165。)5.sinu=uu++(1)13!2n1(2n+1)!u2n+1+=229。(1)n=0165。nu2n+1(2n+1)!(165。,+165。)6.cosu=1u+u+(1)2!4!24n(2n)!u+=229。(1)2nn=0165。n2n(2n)!(165。,+165。)這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關(guān)聯(lián)，后3個相互關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的基礎(chǔ)。1+u+u2++un+不就是一個無窮等比數(shù)列嗎，在|u|1時的求和公式s=1u正是函數(shù)展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點看式子2：1式左端是1u，2式左端是1+u；1式右端是229。un=0165。nnn(1)u，2式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù)229。n=0165。,故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的ln(1+u)與2式左端的1+u165。存在著關(guān)系“[ln(1+u)]162。=1+”，故由1+uu的展開式可以推導(dǎo)出ln(1+u)的展開式為229。(1)n=0nn+1n+1。這三個式子中的u206。(1,1)，相互之間存在著上述的清晰聯(lián)系。后3個式子的u206。(165。,+165。)，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本165。n!n式是公式4：e=229。un=0與之相比，sinu的展開式是229。(1)n=0165。n2n+1(2n+1)!，cosu的展開式是12229。(1)n=0165。n2n(2n)!。一個可看成是將eu展開式中的奇數(shù)項變成交錯級數(shù)得到的，一個可看成是將eu展開式中的偶sinu、數(shù)項變成交錯級數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：cosu習(xí)慣上說“正余弦”，先正后余；而sinu的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)項，cosu的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。記好6個關(guān)鍵式是解決冪級數(shù)求和與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時也大有規(guī)律可循。在已知冪級數(shù)求和函數(shù)時，最佳途徑是根據(jù)各個公式右端的形式來選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘，其中只有1u的展開式不是交錯級數(shù)；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘，其中只有eu的展開式不是交錯級數(shù)。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù)，則應(yīng)該用公式4，因為冪級數(shù)的變n(1)形變不掉階乘和；若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而且是交錯級數(shù)，則必從3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數(shù)的冪級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級數(shù)展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。na=limax229。n對于數(shù)項級數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造冪級數(shù)法，即利用變換229。nn=0nax229。nn=0165。x174。1n=0165。165。求得冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)以后代入極限式即可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)膞n，一般情況下如果n、(2n1)這樣的項在分子中，則應(yīng)該先用逐項積分再用逐項求導(dǎo)，此時的xn應(yīng)為x()1的形式，如x(n)x(2n1)1，以方便先積分；若題目有(2n1)、(3n+1)這樣的項，則xn應(yīng)為x()的形式，如x(2n1)、x(3n+1)，便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗在做一定量的題目后就會得到。本章最后的知識點是付立葉級數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不復(fù)雜，花時間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個復(fù)雜周期運動看作是若干個正余弦運動的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時有以下兩種情況：1. 題目給出的函數(shù)至少有一個完整的周期，如圖即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以則直接套用公式13后級數(shù)中既有正弦級數(shù)也有余弦級數(shù)； 若為奇函數(shù)如數(shù)；2. ，則展開后只有正弦級數(shù)；若為偶函數(shù)則展開后只有余弦函題目給出函數(shù)后沒有說明周期，則需要根據(jù)題目要求進行 奇開拓或偶開拓。如圖，若要求進行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為；若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時得到的展開式中只有余弦級數(shù)，圖像為。 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識點：a) 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個聯(lián)系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時二矢量的數(shù)積為0， 14若直線方程為xx0l=yy0m=zz0n，平面方程為Ax+By+Cz+D=0，則有Al+Bm+Cn=0。同理可對線面、線線、面面關(guān)系進行判定。b)數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式174。174。為ab=|a||b|cosq，故有cosq=174。174。174。174。|a||b|，這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線l1:xx11=yy11==zz11174。174。，直線l1:174。xx22=yy22=zz22，則二直線夾角q=l1l2+m1m2+n1n2222222l1+m1+n1l2+m2+n2|a||b|174。174。，其中174。a、b分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角公式中不是cosq=而是sinq=，因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角qo162。162。qq+q=90是兩矢量夾角的余角，即，故求夾角公式的左端是sinq。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。c) 三點式平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點法式、 、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0（點(x0,y0,z0)為平面上已知點，{A,B,C}為法矢量）可變形為Ax+By+Cz(Ax0+By0+Cz0)=0，符合一般yxAx+By+Cz+D=0++式的形式；截距式abc=1（a,b,c為平面在三個坐標軸上的截距）可變形為bcxacy+abzabc=0，也符合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和標準式之間可以相互轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式15236。x=x0+lt239。237。y=y0+mt239。z=z+nt0238。（(x0,y0,z0)是平面上已知點，