【文章內容簡介】 l i m)3(1111111221032????????????????????????????????RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn時，時，時，的系數，則是，其中求收斂半徑的方法：設稱為收斂半徑。，其中時不定時發(fā)散時收斂，使在數軸上都收斂，則必存收斂，也不是在全，如果它不是僅在原點　對于級數時，發(fā)散時，收斂于　　????????? 函數展開成冪級數： ????????????????????????????????nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00l i m)(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000時即為麥克勞林公式：充要條件是：可以展開成泰勒級數的余項：函數展開成泰勒級數：? 一些函數展開成冪級數： )()!12()1(!5!3s i n)11(! )1()1(!2 )1(1)1(121532?????????????????????????????? xnxxxxxxxn nmmmxmmmxxnnnm　　　　　　????? 歐拉公式： ????????????? ??2s i n2c o ss i nc o sixixixixixeexeexxixe 　　　或 三角級數： 。上的積分＝在任意兩個不同項的乘積正交性：。，，其中，0],[c o s,s i n2c o s,2s i n,c o s,s i n,1c o ss i n)s i nc o s(2)s i n ()(001010?????????????????? ???????? nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn 傅立葉級數： 是偶函數　　　，余弦級數：是奇函數　　　，正弦級數：（相減）（相加）　　　　　　　其中，周期?????????????????????????????????????????????????????nxaaxfnn x d xxfabnxbxfnx d xxfbann x d xxfbnn x d xxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnnc o s2)(2,1,0c o s)(20s i n)(3,2,1ns i n)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(s i n)(1)2,1,0(c o s)(12)s i nc o s(2)(00022222222222222210??????????????????????? 周期為 l2 的周期函數的傅立葉級數： ??????????????????????llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(s i n)(1)2,1,0(c o s)(12)s i nc o s(2)(10??　　　　　　其中，周期???? 微分方程的相關概念： 即得齊次方程通解。，代替分離變量，積分后將，，則設的函數，解法：，即寫成程可以寫成齊次方程：一階微分方稱為隱式通解。　　得：的形式，解法：為：一階微分方程可以化可分離變量的微分方程　或　一階微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy????????????????????)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(??? 一階線性微分方程： )1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(????????????????nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、貝努力方程：時，為非齊次方程，當為齊次方程，時當、一階線性微分方程： 全微分方程： 通解。應該是該全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函數的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP?????????????),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二階微分方程： 時為非齊次時為齊次， 0)( 0)()()()(22????? xf xfxfyxQdxdyxPdx yd 二階常系數齊次線性微分方程及其解法： 2122,)(2,( * )0)(1,0( * )rryyyrrqprrqpqyypy式的兩個根、求出的系數；式中的系數及常數項恰好是，其中、寫出特征方程：求解步驟：為常數；，其中??????????????式的通解：出的不同情況，按下表寫、根據 ( * ),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 兩個不相等實根 )04( 2 ?? qp xrxr ececy 21 21 ?? 兩個相等實根 )04( 2 ?? qp xrexccy 1)( 21 ?? 一對共軛復根 )04( 2 ?? qp 242221pqpirir??????????????， )s inc o s( 21 xcxcey x ??? ?? 二階常系數非齊次線性微分方程 型為常數；型，為常數，]s i n)(c o s)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx?????????????? 概率公式整理 1． 隨機事件及其概率 吸收律 ：AABAAAA?????????)( ABAAAAA??????????)( )( ABABABA ???? 反演律 ： BABA ?? BAAB ?? ?? ni ini i AA 11 ?? ? ?? ni ini i AA 11 ?? ? 2． 概率的定義及其計算 )(1)( APAP ?? 若 BA? )()()( APBPABP ???? 對任意兩個事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP ??? 加法公式：對任意兩個事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP ???? )()()( BPAPBAP ??? )()1()()()()( 2111111 nnn nkji kjinji jini ini i AAAPAAAPAAPAPAP ??? ?????????? ?????? ??? 3． 條件概率 ? ??ABP )( )( APABP 乘法公式 ? ? )0)(()()( ?? APABPAPABP ? ? ? ?)0)(()()(12112112121 ????nnnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP ? ??? 全概率公式 ??? ni iABPAP 1 )()( )()(1 ini i BAPBP ?? ?? Bayes 公式 )( ABP k )( )( APABP k? ??? ni iikkBAPBPBAPBP1)()()()( 4． 隨機變量及其分布 分布函數 計算 )()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP ?? ?????? 5． 離散型隨機變量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk (2) 二項分布 ),( pnB 若 P ( A ) = p nkppCkXP knkkn ,1,0,)1()( ????? ? * Possion 定理 0lim ???? ?nn np 有 ?,2,1,0 !)1(l i m??? ????k keppC kknnknknn ?? (3) Poisson 分布 )(?P ?,2,1,0,!)( ??? ? kkekXP k?? 6． 連續(xù)型隨機變量 (1) 均勻分布 ),( baU ????? ????其他,0,1)( bxaabxf ??????????1,0)( ab axxF (2) 指數分布 )(?E ????? ?? ?其他,00,)( xexf x?? ??? ?? ?? ? 0,1 0,0)( xe xxF x? (3) 正態(tài)分布 N (? , ? 2 ) ??????? ?? xexf x 2 22 )(2 1)( ???? ? ?? ??? x t texF d21)( 2 22 )( ???? * N (0,1) — 標準正態(tài)分布 ??????? ? xex x2221)( ?? ???????? ???? xtex x t d21)( 22? 二維隨機變量 ( X ,Y )的分布函數 ? ??? ??? x y dv duvufyxF ),(),( 邊緣分布函數與邊緣密度函數 ? ??? ????? xX dv duvufxF ),()( ?????? dvvxfxf X ),()( ? ??? ????? yY dudvvufyF ),()( ?????? duyufyf Y ),()( 8. 連續(xù)型二維隨機變量 (1) 區(qū)域 G 上的均勻分布， U ( G ) ????? ??其他,0),(,1),( GyxAyxf (2) 二維正態(tài)分布 ??????????????? ???????? ????????yxeyxfyyxx,121),( 2222212121212)())((2)()1(21221?????????????? 9. 二維隨機變量的 條件分布 0)()()(),( ?? xfxyfxfyxf XXYX 0)()()( ?? yfyxfyfYYXY ?? ???????? ?? dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()( ?? ???????? ?? dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()( )( yxf YX )( ),( yf yxfY? )( )()( yf xfxyf Y XXY? )( xyf XY )( ),( xf yxfX? )( )()( xf yfyxf X YYX? 10. 隨機變量的數字特征 數學期望 ????? 1)( k kk pxXE ?????? dxxxfXE )()( 隨機變量函數的數學期望 X 的 k 階原點矩 )( kXE X 的 k 階絕對原點矩 )|(| kXE