【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于 2? 求導(dǎo)，令 2 22 2 4 1l n ( ) 1 ( ) 022niid L n xd ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? 解得 2? 的極大似然估計(jì)量為 2211 ()n ii Xn??????。 總體密度為 22()2 21( 。 )2xp x e ???????? ，取對(duì)數(shù) 得 22221 ( )l n ( 。 ) l n ( 2 ) l n22 xpx ?? ? ? ??? ? ? ?， 13 關(guān)于 2? 求導(dǎo)和二階導(dǎo)數(shù)，得 222 2 2 2l n ( 。 ) 1 ( )2 2 ( )p x x??? ? ???? ? ??， 2 2 22 2 2 2 2 3l n ( 。 ) 1 ( )( ) 2 ( ) ( )p x x??? ? ??????， 于是得信息量 2 2 222 2 2 2 2 3 2 2l n ( 。 ) 1 ( ) 1() ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )p X E XIE ??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??????， 所以 2? 的無(wú)偏估計(jì)量 211 ()n ii Xn ?? ??的方差下界為 2221 2( )()nI n?? ?， 又 2 21 ~ ( )n iiX n? ??????????? ， 由 2? 分布性質(zhì) ()， 212n iiXDn???????? ??????????， 22 2 2 222111 ( ) 2 ( )()nn iiiiXD X Dn n n? ? ?? ????? ??? ??? ? ??????????? ???? 所以， 2? 的無(wú)偏估計(jì)量 211 ()n ii Xn ?? ??是 UMVUE； 因?yàn)? 22222 2 22112 2 2 221 ( )l im ( ) l im ( )( ) 2 ( )l im 2 l im 0nniinniinnXE X E nnnnnn???????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 其 中利用了 2? 性質(zhì)。由定理 可得， 211 ()n ii Xn ?? ??是 2? 的相合估計(jì)量。 30. 解： 設(shè)總體 ~[0, ]X ? ，其概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為 1 , 0 ,( 。 )0,xfx ?? ?? ???? ??? 其 他 .，0 , 0 ,( 。 ) , 0 ,1,xxF x xx????????? ? ?????? . ()1m ax ininT X X????的 分布函數(shù)為 14 1211( 。 ) { } { , , , }{ } { } ( 。 )0 , 0 , 0 ,1,TnnnniiinnF t P T t P X t X t X tP X t P X t F ttttt???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ????????. 所以， T 的概率 密度 函數(shù) 為 1 , 0 ,( 。 ) 39。( )0,nnTTnt tf t F t ?? ??? ????? ??? 其 他 . 110 0( ) ( 。 ) 11nnnt n t nE T tf t dt t dtnn?? ????????????? ? ? ?????????， 1 2 22 2 20 0( ) ( 。 ) 22nnnt n t nE T t f t dt t dtnn?? ????????????? ? ? ?????????， 所以 222 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 22 1 ( 1 ) ( 2 )nnE T E T E T n n n n? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 故 22 2l im ( ) l im 0( 1 ) ( 2 )nnET nn??? ? ? ?? ? ???，由定理 可得， T 是 ? 的相合估計(jì)量。 31. 解： 設(shè) 12, , , nX X X 為來(lái)自伽馬分布總體 X 的一組樣本， 總體密度為 1 , 0 ,( 。 ) ()0 , 0 .xe x xpxx? ???? ???? ??? ?????， 1 10 ( 1 )( ) ( 。 ) ( ) ( )xE X x p x d x x e x d x???? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ??? ? ? ?????， 2 2 2 1 220 ( 2 ) ( 1 )( ) ( 。 ) ( ) ( )xE X x p x d x x e x d x???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?????， 2222 2 2( 1 )( ) ( ) ( )D X E X E X ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?， 1 1 11 1 1( ) ( ) ( ) . . ( ) ( )n n niii i iE X E X E X i i d E X E Xn n n??? ? ?? ? ? ?? ? ?， 15 2 2 21 1 11 1 1 ( )( ) ( ) ( ) . . ( )n n niii i i DXD X D X D X i i d D Xn n n n n??? ? ?? ? ? ?? ? ?， 所以 11( ) ( )XEg? ?? ? ? ?? ? ?，即 X?是 1()g???的無(wú)偏估計(jì)。 當(dāng) 0x? 時(shí)，取對(duì)數(shù)得 l n ( 。 ) l n l n ( ( ) ) ( 1 ) l np x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 關(guān)于 ? 求導(dǎo)和二階導(dǎo)數(shù)，得 ln ( 。 )px x????? ??? ， 2 22ln ( 。 )px ????? ??? ， 于是得信息量 222l n ( 。 )() pXIE ??? ?????? ? ??????， 所以 1()g? ?? 的無(wú)偏估計(jì)量 X? 的方差下界為 （由定理 ） ? ?2 422139。( )1()gnI nn? ??? ?????， 又 2 2 2 21 1 1( ) ( )XD D X nn?? ? ? ? ? ?? ? ?， 即 ? ?239。( )?[ ( ) ] ( )()gXD g D nI ?? ???? 所以， 1()g? ?? 的無(wú)偏估計(jì)量 X? 是 UMVUE； 32. 解： x = [, , , , , , , ,... , , , , , , , ]。 n = length(x)。 mx = mean(x)。 sd = std(x)。 sig = 。 alpha = 。 phai1 = [mx sig/sqrt(n)*norminv(1alpha/2), mx + sig/sqrt(n)*norminv(1alpha/2)] phai2 = [mx sd/sqrt(n1)*tinv(1alpha/2,n1), mx + sd/sqrt(n1)*tinv(1alpha/2,n1)] 33. 解： 因?yàn)?~ ( 1)/X tnSn?? ?，設(shè)精度為 0?? ，要使得 { } { } 1 0 . 9 5//XP X P S n S n? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?， 所以 16 /2 ( 1)/ tnSn ?? ??， 即 /2 ( 1 ) / 1 . 6 9 9 2 1 . 7t n S n?? ? ? ? ?。 34. 解： 因?yàn)?2? 已知， ~ (0,1)/X Nn?? ?， { } { } 1//X LP X L P nn??????? ? ? ? ? ?， 2 1 1/L n ????? ? ? ????? , 1 / 2/L un ?? ?? , 所以， 21 / 2nuL ?? ????????。 答案錯(cuò)誤！ 35. 解： 因?yàn)?2? 已知， ~ (0,1)/X Nn?? ?， { } { } 1//X LP X L P nn??????? ? ? ? ? ?， 類似于 34，可得 得 221 / 2 0 .5 1 .9 6 9 6 .0 41 / 1 0nuL ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，即 ? 36. 解： 參照 P279 表 ， （ 1） **1 / 2 1 / 2( 1 ) , ( 1 )SSX t n X t nnn??????? ? ? ????? [1832sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201), 1832+sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201)] ans = +003 * 置信下限： 1832sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201) ans = +003 （ 2） 2? 的 置信度為 90%的區(qū)間 估計(jì) [20*497^2/chi2inv(,201), 20*497^2/chi2inv(,201)] 17 ans = +005 * ? 的置信度為 90%的區(qū)間估計(jì) [sqrt(20)*497/sqrt(chi2inv(,201)), sqrt(20)*497/sqrt(chi2inv(,201))] ans = 37. 解： 參照 P280 表 xa = [, , , ]。 xb = [, , , , ]。 n1 = length(xa)。 n2 = length(xb)。 ma = mean(xa)。 mb = mean(xb)。 sw = sqrt(((n11)*var(xa)+(n21)*var(xb))/(n1+n22))。 alpha = 。 [(mamb)tinv(1alpha/2,n1+n22)*sw*sqrt(1/n1+1/n2), ... (mamb)+tinv(1alpha/2,n1+n22)*sw*sqrt(1/n1+1/n2)] ans = 38. 解： xa = [ ]。 xb = [ ]。 n1 = length(xa)。 n2 = length(xb)。 alpha = 。 [1/finv(1alpha/2,n11,n21) *var(xa)/var(xb), 1/finv(alpha/2,n11,n21) *var(xa)/var(xb)] ans = 39. 解： 參考 例 100n? ， 16 ??， 1 ??? ， ?? ，1 2 ?? ?， 221 / 2 1. 96 3. 84u ?? ??， 21 / 2 n u ??? ? ?， 21 / 2( 2 ) 3 5 .8 3b n x u ??? ? ? ? ?， 2 nx??， 得 ? ?2211( 4 ) ( 35 .8 3 35 .8 3 4 10 3. 84 2. 56 ) 0. 10 10 , 0. 24 402 2 10 3. 84b b aca? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 18 1/(2*)*((^24**)) ans = 1/(2*)*(+sqrt(^24**)) ans = 注意：也可以按第 282 頁(yè)的公式。 40. 解：參考 例 （ 1）（ i） 400n? ， 175 400x ??， 1 ??? ， 2??，1 2 ?? ?，221 / 2 1 .9 6 2 .7 0 5 5u ?? ??， 21 / 2 40 2. 70 55a n u ??? ? ?， 21 / 2( 2 ) 3 5 2 . 7 0 5 5b n x u ??? ? ? ? ?， 2 625c nx?? ， 得 ? ?21 ( 4 ) , 2 b b aca??? ? ????? 1/(2*a)*(bsqrt(b^24*a*c))