試談琴生不等式的高維推廣(編輯修改稿)
2025-06-12 08:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n．下面用反向數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式.證明 首先證明n =2 p ( p∈N，p≥2 ) 時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)n = 2時(shí)，由 () 及其等式成立的條件知結(jié)論成立.假設(shè)n =2 k ( k∈N，k≥2 ) 時(shí)，結(jié)論成立，即對(duì) Xi∈M ()，有 ， ()等式成立的條件是X1=X2 = …=. 則對(duì)Xi ∈M ( )，有 ， ()等式成立的條件是 …． 又根據(jù)n = 2時(shí)的結(jié)論，在 () 中作置換，可得+即+， ()等式成立的條件是，.聯(lián)合()、()、()得 ()等式成立的條件是 ，由于存在反函數(shù)，必一一對(duì)應(yīng)，故由上面方程組可推得不等式 ()中等式成立的條件是X1=X 2 = …=．因此對(duì)n =2 p ( p∈N，p≥2 )結(jié)論恒成立.當(dāng)時(shí)，前面已證成立結(jié)論: ()當(dāng)時(shí)，取Xn+1=Xn +2 = …，則Xn+1=Xn +2 = …，代入（）式化簡(jiǎn)后即可得到（）式.綜上，我們就證明了不等式（）結(jié)論對(duì)n≥2恒成立. 定理2 設(shè)f (X)的定義域?yàn)?M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2，…，m．若對(duì)XX2∈M和常數(shù)，都有，且 ， ()等式成立的條件是X1=X2. 則對(duì)Xi∈M ( ，n≥2 )，有 ()這里p是滿足的整數(shù)，()中等式成立的條件是X1=X2 = …=Xn．證明 與定理1相似，首先證明n =2 p ( p
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