【文章內(nèi)容簡介】 ()在運動坐標系中，把（）式里稱為矢量的相對微分，即曲面與運動坐標系假定不動時的全微分。從式（）中也可能得到絕對微分與相對微分之間的相對關系，另稱（）式為相對微分公式。式（）不只是在曲面方程中成立，同樣在曲面法矢的方程中也是成立的。設運動曲面的法矢為： ()則： ()矢向量函數(shù)的這種微分求解方法我們稱之為相對微分法，它不僅考慮了空間曲面的運動方式，而且能在運動中利用此方法研究曲面的一系列幾何問題，是研究齒輪副嚙合情況的常用有效工具[31]。設存在兩個彼此互相接觸作用的運動曲面、并在曲面上建立一個運動坐標系與固定，在曲面上建立一個運動坐標系與固定。當兩個曲面和在空間某一點相切時。r1O1(t)O2(t)mr2M 兩運動曲面的接觸傳動 Contact drive of two curved surface設點在曲面上的徑矢為，單位法矢為；則點在曲面上的徑矢為，單位法矢為；設坐標系的原點到坐標系的原點的徑矢為，： ()在方程組()中，第一個矢量關系是兩曲面在點處應該滿足的接觸條件；第二個矢量關系是兩曲面在點應該滿足的相切條件；上述方程組是所有齒輪傳動副中都需要遵循的基本方程式[32]?？臻g曲面相對于運動坐標系的相對微分用來表示；同理，空間曲面相對于運動坐標系的相對微分用來表示；空間曲面（運動坐標）的角速度用來表示；同理，空間曲面（運動坐標）的角速度用來表示，將上述()方程組，用相對微分法來微分，求得： ()其中： ()求得的速度為兩接觸曲面的相對速度。用空間曲面的公法矢與()式兩邊作數(shù)量積，因為公法矢總是垂直于切平面且也垂直于切平面內(nèi)的和，所以可得： ()將（）式稱為齒輪的嚙合方程，其物理意義可以描述為：兩個運動的空間曲面在各自法線方向上的分速度必須相等才可以保證兩個空間曲面的持續(xù)嚙合；否則兩個空間曲面將在分速度不相等的時刻脫離嚙合或者相互干涉，這是齒輪嚙合所不想看到的。如果在任意時刻兩個運動的空間曲面都沿著嚙合方程（）所能確定的曲線接觸，則稱兩個空間曲面為線接觸共軛曲面，也可稱兩個空間曲面是一對完全共軛的曲面；如果在任意時刻兩個空間運動曲面只是在接觸線上的某一點接觸，則稱兩個空間曲面為點接觸共軛曲面，也可稱其為不完全共軛曲面。不管是線接觸還是點接觸，兩個曲面在接觸的位置都應該滿足基本方程組()和嚙合方程()的限定條件。如果知道兩個線接觸共軛曲面之一的共軛曲面和兩個空間曲面之間的相對運動關系，如何求出另一個空間曲面。假設存在空間曲面，并且和曲面沿著嚙合方程()所確定的接觸線方向進行嚙合，因此，對于曲面我們可以描述為：在運動坐標系中接觸線的運動軌跡。終上所述，空間曲面的方程應滿足下面方程組： ()在正常情況下超越方程組()式，不能計算出解析解。計算結(jié)果時總是利用嚙合方程（）式解出接觸線的表達式，然后將解出得表達式代入()中的第一個方程式，求解。通過微分方程中的單參數(shù)曲面族的包絡理論可知：通過方程組()求得曲面的表達式是運動曲面的包絡，所以上面使用的求解方法事實上就是傳統(tǒng)的包絡法[33]。有的時候不在是一個空間曲面，而是一條空間曲線。如果存在空間曲面在運動坐標系中與空間曲線共軛，其接觸線必須是空間曲線本身。曲面就是曲線在坐標系中的運動軌跡，所以稱為軌跡曲面。設在坐標系中空間曲線的方程是，求得軌跡曲面的方程為： ()式中的和為軌跡曲面的兩個曲面參數(shù)。在第一共軛曲面上正常情況下沒有單獨的奇異點存在，但是大部分是分塊光滑的，兩塊光滑曲面的相交線稱為上的奇異曲線。求解和這種完全共軛的曲面必須分區(qū)域來求解。其中與光滑那部分共軛得用方程組()求解，與奇異曲線那部分共軛的則用 () 式來求，然后將所解得的兩部分相加就能得到所要求的第二。 上文介紹的螺旋錐齒輪嚙合理論不僅是齒輪切削原理的基礎理論，而且也是建立螺旋錐齒輪齒面數(shù)學模型的基礎理論。 螺旋錐齒輪的切齒加工螺旋錐齒輪的銑削是在專用銑齒機上完成的。通過對銑齒機搖臺里凸輪機構(gòu)的控制模擬出一個假想齒輪，裝配在搖臺上的盤銑刀銑削完成的曲面就是假想齒輪的一個輪齒表面。當被加工工件（齒輪）與假想齒輪按照給出的傳動比分別繞各自的軸線轉(zhuǎn)動時，盤銑刀就會在被加工工件上銑出一個齒槽。齒面的銑削過程就是在模擬一對準雙曲面齒輪副的嚙合過程，這樣被加工出來的齒面與刀盤的切削面是兩個完全共軛的曲面。上述螺旋錐齒輪的銑削加工方法稱為展成法(滾切法)，搖臺所模擬出來的假想平頂齒輪稱之為產(chǎn)形輪[34]。銑刀盤被切齒輪假想平頂齒輪 螺旋錐齒輪加工示意圖 Processing schematic of spiral bevel and hypoid gear產(chǎn)形輪一般分為兩大類：平面產(chǎn)形輪、錐面產(chǎn)形輪（、）。平面產(chǎn)形輪盤刀中軸線平行與銑齒機搖臺軸線，使得產(chǎn)形輪的面錐角正好是90176。；錐形產(chǎn)形輪的盤刀中軸線不平行與銑齒機搖臺軸線，使得產(chǎn)形輪的面錐角不再等于90176。；切削準雙曲面齒輪和弧齒錐齒輪副中的大輪通常采用平面產(chǎn)形輪。當大輪節(jié)錐角比70176。小時，加工時一般采取展成法；當節(jié)錐角比70176。大時，大輪輪齒表面與刀盤盤錐面形狀及其相似并且大輪根錐表面與根錐中點的切平面也非常接近，這時讓刀盤直接切入輪坯，不需要用展成法來切削，這種直接切入輪坯的方式稱為成形法。成形法可以大大地提高加工效率，特別適合用在大批量齒輪的制造過程中。為了更進一步把加工效率提高，大輪的加工刀具一般都采取雙面法，即刀具安裝有內(nèi)、外切刀片，稱此種刀具為雙面刀盤。切削時能同時切出輪齒的內(nèi)、外側(cè)齒面。 a）平面產(chǎn)形輪 b）錐形產(chǎn)形輪a）Plane generating gear b）Cone generating gear Two kinds of generating gear小輪的加工采用平面產(chǎn)形輪和錐面產(chǎn)形輪都可以。分為兩種加工方法：變性法、刀傾法。變性法采用的是平面產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪的自由度若想要增加，可以變化產(chǎn)形輪和工件之間的傳動比，以便更能適應小輪齒面的修正。因為這種方法需要在銑齒機上裝有變性機構(gòu)，所以稱為變性法。刀傾法加工小輪則是采用錐形產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪和工件通常有著恒定的傳動比。只有那些帶刀傾機構(gòu)的銑齒機才能模擬處錐形產(chǎn)形輪，因此稱其為刀傾法。加工螺旋錐齒輪時，在展成齒面的同時也需要加工出齒根曲面，這就要求盤銑刀的刀尖平面必須相切于工件的根錐表面，即刀盤的中軸線于根錐表面相互垂直。，將銑削完成的大齒輪和小齒輪配合在一起并把加工它們的刀盤畫出。大輪小輪大輪刀盤軸線小輪刀盤軸線 齒輪嚙合時刀盤的相對位置 Relative position of the cutters when meshing這樣可以清楚的看到，兩盤刀的中軸線根本不平行，這說明：不能用直接展成法加工小齒輪，因為盤刀的切削面無法和大輪齒面做的一樣；但是也不能使用間接展成法加工，因為無法使大輪盤刀切削面和小輪盤刀切削面相互吻合。根據(jù)上述情況，必須用“局部共軛原理”對加工后的齒面進行修正。通常情況下小輪模數(shù)較小、齒數(shù)較少，這樣修正比較簡單，所以大部分情況只對小輪進行修正。所謂“局部共軛原理”是利用齒輪嚙合理論通過己切削完成的大輪齒面，解出和大輪齒面符合完全共軛原理的小輪齒面。雖然這種完全共軛的齒面在理論上是存在的，但是在現(xiàn)有的生產(chǎn)條件下是無法切削成的。這種情況下選定一個基準點在小輪齒面上，并將基準點附近的齒面輕輕剝?nèi)ヒ粚?，距離點越遠的位置去掉得越多一點，把理論的共軛齒面修正成一個在點與理論共軛齒面既相切又能被現(xiàn)有設備所能切削完成的實際齒面。 局部接觸區(qū) Local contact area很顯然利用這種實際加工出來的齒面與大輪再次嚙合時，其接觸區(qū)不再分布整個齒面。而是構(gòu)成了一個完全以基準點為中心接近橢圓的局部接觸區(qū)（）。符合局部共軛嚙合原理的齒輪副避免了完全共軛的齒輪副可調(diào)性差的缺陷。雖然完全共軛的齒輪副在理論上具有諸多優(yōu)點如：載能力高、傳動平穩(wěn)、無噪聲等，但是它的加工與裝配都要求零誤差，否則輪齒邊緣容易形成應力集中而使齒輪損壞。局部共軛的齒輪副處于正確位置裝配時，接觸區(qū)位置在輪齒中部，如果安裝齒輪存在誤差，接觸區(qū)也只在中點周圍移動而不會造成輪齒邊緣應力集中的現(xiàn)象。在實際的生產(chǎn)制造過程中，這種齒輪副的配合使用效果要比完全共軛的齒輪副更為好用。根據(jù)局部共軛原理加工螺旋錐齒輪目前已被廣泛使用，此加工方法成為現(xiàn)代輪齒加工業(yè)中一種先進制造方法[35]。 本章小結(jié)本章是指狀銑刀加工理論的基礎，首先對錐齒輪的現(xiàn)有類型與特點做了一些介紹，最后對空間曲面理論、錐齒輪的嚙合理論和齒輪的切齒加工原理等基礎知識也一一做了闡述。第三章 螺旋錐齒輪齒面計算第三章 螺旋錐齒輪齒面計算本章用格里森公司制造的螺旋錐齒輪數(shù)控加工中心舉例，分析了螺旋錐齒輪齒面運算理論，建立了被加工齒輪的空間數(shù)學模型。在銑削螺旋錐齒輪時，常采取雙面刀盤銑削大輪，而銑削小輪則利用兩個刀盤分別銑削兩側(cè)齒面。建立數(shù)學模型時，首先要算出在大輪齒面計算點處的曲率；然后在通過大、小輪在嚙合點處的誘導曲率計算小輪凹凸齒面預設點處的曲率，確定出小輪齒面，并要求切削出的小輪必須滿足嚙合公式。在進行螺旋錐齒輪的齒面數(shù)學建模時，只需要考慮大輪右旋和小輪左旋的情況就可以了，因為可以利用對稱性原理得到大輪左旋和小輪右旋的情況。 加工坐標系建立及其參數(shù)根據(jù)螺旋錐齒輪切齒加工及嚙合原理, 可以把構(gòu)想出來的產(chǎn)形輪與被加工大輪看成是一個嚙合的齒輪副。想要建立大輪齒面的方程，首先要假設幾個空間坐標系。本章利用帶刀傾搖臺結(jié)構(gòu)的螺旋錐齒輪加工中心計算出了右旋大輪的齒面方程。，為大輪銑削過程中機床和盤刀坐標關系； 機床和刀具坐標關系 Coordinate relationship between machine and cutter 機床和工件坐標關系 Coordinate relationship between workpiece and machine ，為加工中心和齒輪坐標關系；，加工大輪的坐標系包括：1)四個固標系；其中，與分別是固機床床身的機床坐標工件坐標系，設為機床的中心；為固連具坐標系，設為刀中心；為與機固連的過坐標系；2)兩個運動坐標系；其中，和分別是與搖錐齒輪固連且動的坐標系，為搖中心，為大輪軸的設計交叉點。，根據(jù)刀具與工件的相位置，工件位置關參數(shù)包括：1) 床位；指工件箱(或搖臺)相準位置沿著搖臺中方向前或向后的距離。2) 軸輪位；指調(diào)整工件在機上的軸向的距離。3) 垂直位；指被銑削齒輪的中軸線搖臺中軸線的相直偏置量。4) 機床安錐角；指在床鞍的圓道上工件箱能移動的角度。5)大輪轉(zhuǎn)角；指齒輪以計算軛展成為起始點繞大輪軸線的轉(zhuǎn)角。刀具位置關參數(shù)包括：1) 角向刀位；指產(chǎn)形輪轉(zhuǎn)過的角度，其起始的角度為（即計算點在參與嚙合時的角向刀位），這時大輪的轉(zhuǎn)角；那么表示為： () 式中，參數(shù)表示切削大輪時加工中心的滾比。2)徑向刀位；指的是刀具中心到機中心的距離。3) 參考點的相位角 ；指的是調(diào)整刀具沿齒長方向的銑削運動的參數(shù)。：大輪盤刀義半徑為、內(nèi)外刀的刀頂距離為、刀具的形角為、那么很容易得到刀尖直徑的表達式： ()其中，負號代表銑削齒輪凸面的內(nèi)刀盤，正號則代表銑削齒輪凹面的外刀盤。 齒面方程建立盤銑刀切削面和加工出的大輪齒面是兩個共軛曲面，其中，定義盤銑刀切削面為共軛曲面中的第一曲面，加工出的大輪齒面定義為共軛曲面中的第二曲面，通過第二曲面的運算方法，則可求出大輪齒面的方程。第一曲面（盤銑刀切削面）的矢量方程由兩段矢量合成，第一段矢量是從大輪加工坐標系的坐標原點到刀尖點的矢量，第二段則是從刀尖點到盤銑刀切削面上任意一點的矢量，記作： ()其中，參數(shù)是點順著切削面母方向上的單位矢量；則是關于與的函數(shù)，需要利用嚙合方程求解出的函數(shù)表達式[3637]。 設搖臺軸線（即產(chǎn)形輪中軸線）和大輪軸線方向，則有： ()設銑削時產(chǎn)形輪速度，大輪速度為，它們相對速度和相對速度為： () ()另外，切削面矢為： ()將和的方程（）、（）代入嚙合方程（）就可以求得參數(shù)： ()終上所述，齒面方程中的所有矢量都可以求出，設，因為大齒輪的齒面方程必須滿足空間曲面方程，即為： () 為了更方便的研究指狀銑刀加工過程，需要把以刀盤為坐標系的齒面方程轉(zhuǎn)換到齒輪的坐標系中去。下面將把齒面方程利用其次坐標變換理論轉(zhuǎn)