【文章內容簡介】 r (iiiiiddxdk ???????因為 ?? 02id所以 )?v a r ()?v a r (1*1?? ?當0?id， （ni ,2,1 ??）等號成立，此時：iikc ?，*1??就是 O L S 估計量 1??。同理可證明 )?v a r ()?v a r ( 0*0 ?? ?S a m p l i n g d i s t r i b u t i o n o f O L S e s t i m a t o r 1?? a n d a l t e r n a t i v e e s t i m a t o r *1??11*11)?()?( ??? ?? EE1??*1?? 結論 普通最小二乘估計量具有線性性 、 無偏性 、 最小方差性等優(yōu)良性質 。 具有這些優(yōu)良性質的估計量又稱為 最佳線性無偏估計量 ， 即 BLUE 估計量 （ the Best Linear Unbiased Estimators） 。 顯然這些優(yōu)良的性質依賴于對模型的基本假設 。 全部估計量 線性無偏估計量 B L U E 估計量Back 1112121212121212111111110)()()()()()()()()()()(])[()()(l i ml i m)l i m)l i m ()l i m ()?l i m (:1))?( l i m ()?l i m (???????????????????????????????????????????????????????????????????QXV a rXC o vXXEEXEXEXXEXEXXEXXEXXEXXExExEnxPnxPxxPPkPPPPiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii證明的一致性證明五、參數估計量的概率分布與隨機干擾項方差的估計 1 、 0?? 和 1?? 的概率分布 首先， 由于解釋變量iX 是確定性變量，隨機誤差項 i? 是隨機性變量，因此被解釋變量 iY 是隨機變量，且其分布 （特征）與 i? 相同。其次 ，0?? 和1?? 分別是iY 的線性組合，因此0?? 、1?? 的概率分布取決于 Y 。在 ? 是正態(tài)分布的假設下， Y 是正態(tài)分布，因此 0?? 和1?? 也服從正態(tài)分布，其分布特征 （密度函數）由其均值和方差唯一決定。因此： ),(~?2211 ?ixN??? ， ),(~? 22200 ??? ??iixnXN1i?i???????222?22?1001:??iiixnXx????????的標準差分別為和 2 、隨機誤差項 ? 的方差 2? 的估計 在估計的參數0?? 和1?? 的方差和標準差的表達式中，都含有隨機擾動項方差2? = )v a r (i? 。2? 又稱為 總體方差 。 由于2?實際上是未知的，因此0?? 和1?? 的方差與標準差實際上無法計算。由于隨機項 i? 不可觀測，只能從 i? 的估計——殘差 ie 出發(fā)，對總體方差2?進行估計?？梢宰C明 ：總體方差 2 ? 的 無偏估計量 為 2 ? 2 2 ? ? ? n e i ? () 在總體方差 2 ? 的無偏估計量 2 ? ? 求出后， 估計的參數 0 ? ? 和 1 ? ? 的方差和標準差的估計量 分別是： 1 ? ? 的樣本方差： 1 ? ? 的樣本標準差： 0 ? ? 的樣本方差： 0 ? ? 的樣本標準差： Back )(? 222?1 ??ixS ??)(? 2?1 ??ixS ??)(? 2222?0 ???iixnXS ??)(? 22? 0 ???iixnXS ??第二章 第三節(jié) 一元線性回歸模型的統計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗 擬合優(yōu)度檢驗： 檢驗模型對樣本觀測值的擬合程度。 最小二乘法所保證的最好擬合 與 擬合優(yōu)度檢驗 最小二乘法所保證的最好擬合：同一問題內部的比較（指最小二乘法比其它方法能更好地擬合） 擬合優(yōu)度檢驗：是不同問題的比較（變量的變化、增減、模型形式的改變） 消費總額消費總額人均可支配收入國內生產總值?? ?? ??? ??????????????總離差平方和的分解 ?? ??? 22 )( YYyT S S ii總離差平方和?? ??? 22 )?(? YYyE S S ii回歸平方和?? ??? 22 )?( iii YYeR S S殘差平方和R S SE S ST S S ?＝)()?()?()( 222 ??? ???? iiii YYYYYY ＝關系：)()?()?()( 222 ??? ???? iiii YYYYYY ＝可以證明：22 )]?()?[()( YYYYYY iiii ???? ?? ＝證明：22 )?()?)(?(2)?( ??? ?????? YYYYYYYYiiiiii＝? ?? )?)(?( YYYY iii? ? ???? )?()?(? iiiii YYYYYY? ? ????? )?()?)(??( 10 iiiii YYYYYX??? ?? ?????? )?()?(?)?(? 10 iiiiiii YYYYYXYY ???????????? ?? ?iiiiiiXXXYXY)??()??(1010????由正規(guī)方程組可推得：???????? ?? ?iiiiiiXYXYYY?????????????0)?(0)?(iiiiiYYXYYR S SE S ST S S ?＝回歸平方和 殘差平方和 0)?)(?( ???? ? YYYY iii)()?()?()( 222 ??? ???? iiii YYYYYY ＝從而有：統計量、可決系數 22 RT S SR S ST S SR S ST S ST S SE S SR ?????? 12總離差平方和回歸平方和的特點：2R。10)1( 2 ?? R；，回歸方程擬合得越好值越接近 1)2( 2R))(32(??)( )?()3( 222122222 的PyxyyYYYYT S SE S SRiiiiii?????? ?????? ?總體平方和殘差平方和?? 1)()(二、變量顯著性檢驗（ t檢驗） 變量顯著性檢驗（ t檢驗）的任務： 確保模型中的變量是對被解釋變量有顯著影響的變量。 檢驗的對象： 的顯著性1? 假設檢驗 (1)任務： 關于總體分布的假設根據樣本的信息 判斷 ?? ??程序)2(）：（如提出假設 5000 ?xHH正確、假定 01 H、根據樣本資料2結論合理 不合理是正確的假設 0H 是錯誤的假設 0H依據)3(。中幾乎是不可能發(fā)生的率事件在一次試驗小概率事件原理：小概）：（如提出假設 5000 ?xHH)(1 00 事件假定下構造一個小概率并在正確、假定 HH的樣本、隨機抽取一組容量為 n2試驗結果該事件沒有發(fā)生 該事件發(fā)生了00HH接受是正確的假設00HH拒絕是錯誤的假設的分布：1?)1( ?)38(? 1 P見服從正態(tài)分布?),(~?2211 ?ixN???)1,0(~?2211 Nx i?????即：、變量的顯著性檢驗2(2)t統計量 (1)建立 t統計量的目的：用于檢驗 β1的顯著性。 (2) 計算求得；據 )(32:? 1 P?；檢驗中提出假設在 0:: 101 ??? Ht是未知的。而 2?)1,0(~?2211 Nx i?????,2 是未知的?? ,? 2 代之故以其估計值 ?))(39(2?22 Pne i?? ??,? 22 后代替以 ??分布了。的而是服從自由度為，不再服從正態(tài)分布tnNxxii)2()1,0(???22112211????????????統計量。這就是即 tntSxti),2(~???1?112211 ????????????x)(xf2?2???1)1(2?? knt?)1(2?? kntt ??若 。0H故拒絕則小概率事件發(fā)生了。，故接受則小概率事件沒有發(fā)生 0H)1(2?? kntt ??若椐樣本計算 查表 檢驗t)3(0: 10 ??H顯著性檢驗，判斷解釋變量的、采用例：利用 tE x c e l年份 消費總額 國內生產總值 t Y X 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 3309 3638 4021 4694 5773 6542 7451 9360 10556 11362 13146 15952 20222 27216 34529 40172 4901 5489 6076 7164 8792 10133 11784 14704 16466 18320 21280 25864 34501 47111 59405 68498 三、參數的置信區(qū)間 要解決的問題：總體參數 β1以 何種置信水平 、落入 某一區(qū)域 之中。 )2(~???1?112211 ??????ntSxti?????????? ??? 1)(22tttP ????? ??? ???? 1)?(2?2tstPiii ?????? ???? ?????? 1)??( ?2?2 iiststP iii ??）相應的置信概率為（，的置信區(qū)間為：?????????????1)??( ?2?2iistst iii如何縮小置信區(qū)間？ )??(111?21?211???? ????stst ?????，）的置信區(qū)間為：的置信概率為（))2()?(?)2()?(?()????(2221222122212221???????????????????iiiiiiiixnYYtxnYYtxtxt??????????，即：減小，2?t 減小2)?( 2???nYY ii減小2 )?(2???nYY ii增大樣本容量)1(提高擬合優(yōu)度)2(間、置信