【文章內(nèi)容簡介】 到 n 個事件的情形。在n個事件中，如果其中任意一個事件發(fā)生的概率不受其余 1?n 個事件發(fā)生與否的影響，那么就稱這n個事件相互獨立。就三個事件來說，事件CBA ,獨立，必須有 )( ABP = )()( BPAP ， )( BCP = )()( CPBP ， )( ACP = )()( CPAP ， 以及 )( ABCP = )()()( CPBPAP 437 ? 【 例 48】 對同一目標進行 3次射擊，第一、二、三次射擊的命中概率分別是 、 、 ，試求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。 ? 解：記 ， （ i=1，2， 3），于是可以寫出： 321}{ AAA?命中三次射擊中恰好第一次 ， 321}{ AAA?命中三次射擊中恰好第二次 ， 321}{ AAA?命中三次射擊中恰好第三次 }{ 中三次射擊中恰有一次命?A }{ 次射擊命中第 iA i ?438 }{ 中三次射擊中恰有一次命?A? ? ? ? ? ? ? ?321321321 AAAPAAAPAAAPAP ???顯然，這三個事件是兩兩不相容的。而 是這三個事件的和。根據(jù)不相容事件的加法法則，有 由于三次射擊是彼此獨立的，即相互獨立，故有 439 ? ? )()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAP ???)](1)][(1)[(321APAPAP ??? )](1)[()](1[321APAPAP ??? )()](1)][(1[321APAPAP ??? ????????? ? 440 第三節(jié) 隨機變量及其分布 ? 一 、 隨機變量的概念 ? 二 、 隨機變量的概率分布 ? 三 、 隨機變量的數(shù)字特征 441 ? 一 、 隨機變量的概念 （一）什么是隨機變量 隨機變量就是其取值帶有隨機性的變量。在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機試驗的結果來定，并且隨試驗的結果而變。 442 ? （二）隨機變量的種類 如果隨機變量的全體可能取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱作離散型隨機變量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）； 如果隨機變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機變量（如可能出現(xiàn)的測量誤差） 。 443 二、隨機變量的概率分布 ? （一）概率分布的概念 隨機變量的一切可能值的集合（值域），及其相應的概率叫做隨機變量的概率分布。隨機變量的統(tǒng)計性質(zhì)可由它的概率分布來表征。 444 ? 【 例 49】 歷史上曾有不少人作過反復投擲均勻硬幣的試驗?，F(xiàn)在定義這樣一個隨機變量： ????如果反面朝上如果正面朝上,0,1X表 41 投擲硬幣試驗結果的頻率分布 試驗 結果 X 試驗者：蒲 豐 試驗者：皮爾遜 試驗者：皮爾遜 頻數(shù) 頻率 頻數(shù) 頻率 頻數(shù) 頻率 1（正面） 0（反面） 2048 1992 6019 5981 12022 11998 合 計 4040 12022 24000 445 綜上所述，離散型隨機變量 X的每一個可能的取值 xi和隨機變量取該值的概率 p（ xi）之間所確立的對應關系稱作這個離散型隨機變量的分布。 P（ xi）（ i=1， 2， 3， … ）稱作隨機變量 X的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下面的關系： p（ xi） ≥0和 。 ????11)(iixp446 【 例 410】 袋中共有 50個球，其中記上 0號的 5個，記上 k號的分別有 k個（ k = 1， 2， … ， 9）?，F(xiàn)從袋中任取一球。試做出所得號數(shù)的分布列。 解：記所取之球的號數(shù)為隨機變量 X，由古典概率的計算方法可知： P(x=0)=5 / 50， P(x = k) = k / 50 ( k = 1， 2， … ， 9)。于是，可做出分布列（見表 43）。 表 43 離散型隨機變量分布數(shù)列 X = xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P(xi) 447 ? 2. 連續(xù)型隨機變量的分布 【 例 411】 檢查了在相同條件下生產(chǎn)的 246件汽車活塞，測得所切削之活塞孔對中心線的偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對這類變量觀測數(shù)據(jù)的整理應當采用組距式分組。把整理結果做成頻率分布表（見表 44）和次數(shù)分布直方圖（見圖 41）。 448 ? 表 44 汽車活塞削孔對中心線偏差的頻率分布 偏差尺寸分組（毫米）X = x 頻數(shù)（件） 頻率 頻率密度 － 45～－ 35 － 35～－ 25 － 25～－ 15 － 15～－ 5 － 5～ 5 5～ 15 15～ 25 25～ 35 35～ 45 2 18 35 54 50 44 27 12 4 合 計 246 —— 449 偏差尺寸（毫米） 圖 41 活塞削孔對中心線的偏差的頻率分布 450 ? 綜上所述，連續(xù)型隨機變量 X的一系列取值區(qū)間（例如，可以是由 –∞與實數(shù)軸上的任意點所構成的一系列區(qū)間）和隨機變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對應關系，稱作這個連續(xù)型隨機變量的分布。 ? 連續(xù)型隨機變量的分布可以用密度函數(shù)來描述，隨機變量的密度函數(shù)記作 。 )(xp451 ? 次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來畫圖的。當分組數(shù)無窮多，而組距（即直條的底邊長）趨近于 0時，直方圖演變成平滑的曲線 (如圖 41)，這時，直條的高就成 為 。 ? 連續(xù)型隨機變量在某一數(shù)值區(qū)間內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作 )(xp???? ba dxxpbXaP )()(452 ? 密度函數(shù)滿足下面兩個基本性質(zhì)： （ 1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會是負數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線； （ 2）在整個實數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于 1，從圖形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于 1。這兩個性質(zhì)用密度函數(shù)式寫作 0)( ?xp ????? 1)( dxxp453 三、隨機變量的數(shù)字特征 ? （一）隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量 X的數(shù)學期望是 X