【正文】 0246810121416185060 7080 901000%5%10%15%20%25%30%35%`統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論 曾五一 肖紅葉 主編 42 第四章 概率基礎(chǔ) ? 第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件 ? 第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算 ? 第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 ? 第四節(jié) 幾種常用的概率分布 43 第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件 ? 一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 ? 二、隨機(jī)事件 44 一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 ? 確定性現(xiàn)象 ? 在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結(jié)果的現(xiàn)象 。 ? 隨機(jī)現(xiàn)象 ? 在給定的條件下不能確切預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象 。 45 二、隨機(jī)事件 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)又稱作隨機(jī)試驗(yàn) 。隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件 ， 簡(jiǎn)稱為事件 ， 一般用大寫(xiě)字母 A,B,C,… （ 必要時(shí)加下標(biāo) ） 來(lái)表示 。 有時(shí) ， 也可用大括號(hào) {…… }表示事件 ， 括號(hào)中寫(xiě)明事件的內(nèi)容 。 46 （一）事件的種類 一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，稱作基本事件?；臼录窃囼?yàn)的最基本結(jié)果：每次試驗(yàn)必出現(xiàn)一個(gè)基本事件，任何兩個(gè)基本事件都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。 由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件所組成的事件稱作復(fù)合事件。 一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的集合，稱作該隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間。必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件，記作 Ω。任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作 216。 ?47 （二）事件的關(guān)系和運(yùn)算 事件的關(guān)系有：包含和相等；事件的運(yùn)算有：和（并），差，交（積），逆。 ? （ 1）包含：關(guān)系式 表示“若 A出現(xiàn)，則 B也出現(xiàn)（反之則未必）”，稱作“ B包含 A”，或“ A導(dǎo)致 B”。 BA ?48 ? （ 2）相等：關(guān)系式 A=B表示二事件 A和 B要么都出現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作“事件 A等于事件 B”或“事件 A和 B等價(jià)”。 ? （ 3）和（并）：運(yùn)算式 A+B或 A∪ B讀作“ A加 B”，稱作“ A與 B的和（并）”，表示“ A和 B至少出現(xiàn)一個(gè)”。對(duì)于多個(gè)事件 , 或 表示“諸事件中至少出現(xiàn)一個(gè)”。 ）， ?21( ?iiA ?i iA?iiA49 ? （ 4）差：運(yùn)算式 A－ B或 A\B讀作“ A減 B”，稱作“ A與 B的差”，表示“事件 A出現(xiàn)但 B不出現(xiàn)?！? ? （ 5）交（積）：運(yùn)算式 AB或 A∩B，稱作“ A與 B的交（或積）”，表示“事件 A和 B同時(shí)出現(xiàn)”。對(duì)于多個(gè)事件 表示“諸事件 同時(shí)出現(xiàn)”。 ? （ 6）逆事件： ={A不出現(xiàn) }，稱作 A的對(duì)立事件或逆事件。顯然 A和 互為對(duì)立事件，它們之間有下列關(guān)系：， A∩ =216。 ? （ 7）不相容：若 AB=216。，即 A與 B不可能同時(shí)出現(xiàn)，則稱 A和 B不相容。 ）， ?21( ?iiA???AA）， ?21( ?iiA? iAAAA410 第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算 ? 一 、 概率的概念 ? 二 、 隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系 ? 三 、 概率的性質(zhì) ? 四 、 概率的估計(jì)和計(jì)算 411 一、概率的概念 ? 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，就有可能性大小問(wèn)題。事件 A在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件 A的概率以 P（ A）表示。 412 二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系 ? 在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行同一隨機(jī)試驗(yàn)， A是這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果（事件）。設(shè)試驗(yàn)的次數(shù)為 n，在 n次重復(fù)試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的次數(shù)為 nA，則事件 A的頻率為 ? 通過(guò)大量觀測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)試驗(yàn)的頻率具有隨試驗(yàn)次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質(zhì)，而頻率的穩(wěn)定值可以用來(lái)反映事件發(fā)生的可能性大小。因此，可以說(shuō)頻率的穩(wěn)定值 p是事件A發(fā)生的概率。即 P(A)=p nnAP An ?)(413 三、概率的性質(zhì) ? 設(shè)事件 A的概率記作 P（ A），則它應(yīng)該具有如下性質(zhì)： ? 性質(zhì) 1：非負(fù)性，即 0≤P(A)≤1 ? 性質(zhì) 2：規(guī)范性，即，對(duì)于必然事件 Ω，有 P(Ω)=1 ? 性質(zhì) 3：對(duì)于隨機(jī)事件 Ai(i=1， 2， …) ，只要它 們兩兩互不相容，則有 ??????? 1 )(1 )( i APi AP ii414 四、概率的估計(jì)和計(jì)算 ? （一）概率的直接計(jì)算 如果一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件總數(shù)有限，并且各基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件 A由若干基本事件所組成，則 A的概率可用下式計(jì)算 基本事件總數(shù)所含基本事件的個(gè)數(shù)AAP ?)(415 ? 【 例 41】 袋中盛有除顏色外其他完全相同的50個(gè)不同顏色的小球，其中有 10個(gè)白球。充分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概率。 解：記 A = {抽到白球 }。該試驗(yàn)總共有 50個(gè)等可能的基本事件， A包含其中的 10個(gè)。因此 5010)( ??AP416 ? 如果隨機(jī)試驗(yàn)可模擬區(qū)域上隨機(jī)投點(diǎn)。并且（ 1）這個(gè)區(qū)域有明確界限，可以作長(zhǎng)度、面積、體積的幾何度量。（ 2）隨機(jī)點(diǎn)落在這個(gè)區(qū)域任何一點(diǎn)上的可能性都相同，也就是說(shuō)，對(duì)于中的某一區(qū)域 g，隨機(jī)點(diǎn)落在 g內(nèi)的概率與 g的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無(wú)關(guān)。 417 ? 對(duì)于這種隨機(jī)試驗(yàn)，如果以 A表示 {隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域 g中 }這一事件，則其概率可用下式計(jì)算 的幾何度量的幾何度量?? gAP )(418 ? 【 例 42】 某農(nóng)場(chǎng)有耕地 500畝，其中 1號(hào)地塊面積為 8畝。向 500畝耕地隨機(jī)投點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)落在 500畝耕地每一位置的可能性相等。求 1號(hào)地塊被抽中的概率。 419 解：隨機(jī)點(diǎn)落在 1號(hào)地塊內(nèi)的概率與地塊的面積成正比。 1號(hào)地塊的幾何度量為 8畝，整個(gè)區(qū)域幾何度量為 500畝。記 A={隨機(jī)點(diǎn)落在1號(hào)地塊 }={1號(hào)地塊被抽中 }，則 5008)( ??AP420 ? （二）用頻率估計(jì)概率 在最一般情況下，用事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率估計(jì)其概率的值。這樣做的依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點(diǎn)前面已經(jīng)有所敘述。 421 ? （三）