【文章內(nèi)容簡介】 ()( limlim 0 ssFtf st ??? ?函數(shù)名稱 時(shí)間曲線 數(shù)學(xué)表達(dá)式 拉氏變換 階躍函數(shù) F(s)=1/s 斜坡函數(shù) F(s)=1/s2 加速函數(shù) F(s)=1/s3 指數(shù)函數(shù) F(s)=1/(sa) 正、余弦函數(shù) F(s)=ω/(s2ω2) F(s)=s/(s2ω2) ???????0001)(1)(ttttf0 f(t) t 1 0 f(t) t ??????000)(ttttf??????000)( 221ttttf??????000)(ttetf at??? ??? 00 0si n)( ttttf ???? ??? 00 0c o s)( ttttf ?0 f(t) t 0 f(t) t 0 f(t) t 1 正弦 余弦 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 Atf ?)(sAtALtALsF ???? )](1[)](1[)(??? ttf )(2)](1)[()( settLsF s??? ??????tetf t ?? s in)( ??22)(]s in[)( ??????????steLsFt已知 ，求 F(s)。這里 A是常數(shù)。 解：因?yàn)?A是常數(shù)，所以 ，根據(jù)線性定理則有 已知 ，求 F(s)。 求 的拉氏變換。 解：根據(jù)實(shí)域位移定理則有 解：根據(jù)復(fù)域位移定理則有 例一 例三 例二 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 拉氏反變換 拉氏變換的逆運(yùn)算 ? ????? ?? jjst dsesFjsFLtf??? )(21)]([)( 1稱為拉氏反變換， 該式是拉氏反變換的數(shù)學(xué)定義，而在實(shí)際應(yīng)用中常常采用的方法是： 1. 先將 F(s)分解為一些簡單的有理分式函數(shù)之和，這些函數(shù)基本上都是前面介紹過的典型函數(shù)形式； 2. 然后由拉氏變換求出其反變換函數(shù)，即原函數(shù) f(t)。 nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF??????????????1111110......)()()(設(shè) F(s)的一般表達(dá)式為 (通常都是 s的有理分式函數(shù) ) 式中的 a a2... an以及 b b2... bm為實(shí)數(shù)， m、 n為正數(shù)，且 mn。根據(jù)上式分母的根，分為以下兩種情況來討論 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 s?si s?si s?si A(s)=0無重根 n i=1 s?si n i=1 若 F(s)=B(s)/A(s)=C1/(ss1)+ C2/(ss2)+…+ C n/(ssn)=Σ Ci/(ssi) 則 f(t)= L1[F(s)]=L1 [Σ Ci/(ssi)] 對各項(xiàng) Ci/(ssi)進(jìn)行拉氏反變換即可其中系數(shù) Ci=lim(ssi)F (s) A(s)=0有重根 若 F(s)=Cm/(ss1)m+ Cm1/(ss2) m1+…+C 1/(ss1)+…+ C n/(ssn) 其中重根系數(shù) Cm=lim(ssi)mF (s)， Cm1=limd[(ssi)mF (s)]/ds， …… ， Cmj=(1/j!)limdj[(ssi)mF (s)]/dsj， …… ， C1=[1/(m1)!]limdm1[(ssi)mF (s)]/dsm1 其他無重根情況同前。 將各系數(shù)代入 F(S)式對各項(xiàng)進(jìn)行拉氏反變換即可 s?si 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 用拉氏變換求解系統(tǒng)微分方程或方程組的步驟如下： 1. 將系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以 s為變量的變換方程； 2. 解出變換方程，即求出被控量的拉氏變換表達(dá)式； 3. 將被控量的象函數(shù)展開成部分分式表達(dá)式； 4. 對該部分分式表達(dá)式進(jìn)行拉氏反變換，就得出了微分方程的解，即被控量的時(shí)域表達(dá)式。 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 345)(2 ????ssssF13)1)(3(5)( 21????????sCsCssssF115)()3( l i ml i m331???????????? sssFsCss235)()1( l i ml i m112??????????? sssFsCss已知： ，求其拉氏反變換。 接下來是 確定兩個(gè)待定系數(shù) ， 解： 將 F(s)進(jìn)行因式分解后得到 1231)1)(3(5)(?????????ssssssFtt eetf 32)( ?? ??這時(shí)有 將上式進(jìn)行 拉氏反變換 得到 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 )3()1(2)(2 ????sssssF )(tf31)1()( 43122 ??????? sCsCsCsCsF32)3()1(2)(2022 l i ml i m ????????? ssssFsCss121)1(2)()3(2334 l i ml i m ???????????? ssssFsCss21)3(2)()1( l i ml i m11 1212???????????? ssssFsCss43])3(2[)]()1[( l i ml i m11 1211???????????? sssdsdsFsdsdCss311211321143)1(121)(2 ???????????? sssssFttt eetetf 3121324321)( ??? ????? 已知： ，求原函數(shù) 解：將 F(s)進(jìn)行因式分解 后得到 將所求得的系數(shù)代入 F(s)中 這時(shí)將上式進(jìn)行反拉氏變換得到 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 )(2222txdtdxdt xd ccc ????12)(2)(2 ??? ccc XssXsXs1)1(1221)(22??????ssssX c? ? tesXLtx tcc si n)()( 1 ?? ??已知系統(tǒng)微分方程為 Xc在 t=0時(shí)刻的各階導(dǎo)數(shù)均為零。求系統(tǒng)的輸出 Xc(t)。 解：對該系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉氏變換得到 輸出量的拉氏變換表達(dá)式為 所以 使用復(fù)域位移定理求出系統(tǒng)的輸出為 控制系統(tǒng)的微分方程 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 傳遞函數(shù)： 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 G(s) C（ S） R（ S） 傳遞函數(shù)的方框圖 左圖 所示的是 )22)(3()2)(1()(2 ??????ssssssG的 零、極點(diǎn)分布圖。 傳遞函數(shù) 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 。 ，它取決于系統(tǒng)或元部件的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與輸入量的物理特性無關(guān)，并且和微分方程中各項(xiàng)對應(yīng)相等。 ，許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)，所以傳遞函數(shù)只描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，并不提供任何有關(guān)該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。 、單輸出系統(tǒng)，因而信號在傳遞過程中的中間變量是無法反映出來的。 ，可通過給系統(tǒng)加上已知特性的輸入，再對其輸出進(jìn)行研究，就可以得到該系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并可以給出其動(dòng)態(tài)特性的完整描述。 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 傳遞函數(shù) 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) r(t) c(t) t 0 比例環(huán)節(jié)（無慣性環(huán)節(jié)）： c(t)=kr(t) 傳遞函數(shù)： G(S)=C(S)/R(S)=k 階躍響應(yīng)： R(S)=1/S C(S)=kR(S)=k/S 方框圖： C(t)=k k R(S) C(S) 1 測速發(fā)電機(jī)： ω U(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t) G(S)=U(S)/Ω(S)=Kt R2 R1 R C(t) r(t) 運(yùn)算放大器： C(t)=R2/R1 r(t) G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K 傳遞函數(shù) 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 慣性環(huán)節(jié) ： Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 傳遞函數(shù)： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1) 階躍響應(yīng)： R(S)=1/S C(S)=kR(S) 方框圖： C(t)=k(1e1/T) 2 k/(TS+1) R(S) C(S) 電樞控制他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)： Td Tm d2n(t)/dt2 + Tm dn(t)/dt +n(t) ＝ Ua(t)/Ce 若初值為 0，上式的拉氏變換為： (Td TmS2 + Tm S +1)N(S)= Ua(S)/Ce 傳遞函數(shù)為： 1 G(S)=N(S)/Ua(S)= Ce (Td TmS2 + TmS +1) 若電樞電感忽略不計(jì)，上式可以化簡為： 1 G(S)=N(S)/Ua(S)= Ce ( TmS +1) 運(yùn)算放大器： R2 R1 R C(t) r(t) C i1 i2 A 傳遞函數(shù)為： G(S)=（ R2/R1)/(R2CS+1) =K/(TS+1) 傳遞函數(shù) 當(dāng) T=∞時(shí) ， 慣性環(huán)節(jié)近似為積分環(huán)節(jié)；當(dāng) T=0時(shí) ，慣性環(huán)節(jié)近似為比 例 環(huán) 節(jié) 。 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 3 積分環(huán)節(jié)： dc(t)/dt =kr(t) 傳遞函數(shù)： G(S)=C(S)/R(S)=k/S 階躍響應(yīng)： R(S)=1/S， C(S)=kR(S) ? C(t)=kt 方框圖： k/s R(S