【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (即任務(wù)有效度 )和穩(wěn)態(tài)有效度之間的關(guān)系。 習(xí)題 4： 一設(shè)備從以往的經(jīng)驗(yàn)知道，平均無(wú)故障時(shí)間為 20天，如果出了故障需 2天方能修復(fù)，假定該設(shè)備發(fā)生故障時(shí)間及修復(fù)時(shí)間服從指數(shù)分布。 求： (1)該設(shè)備 5天和 15天的可靠度各為多少 ?；(2)該設(shè)備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少 ? 1M TTR??如 果 維 修 時(shí) 間 服 從 指 數(shù) 分 布 ， 有0( ) ,1()tR t eM T BF R t dt?????????如 果 服 從 指 數(shù) 分 布提示： 習(xí)題 4答案： 一設(shè)備從以往的經(jīng)驗(yàn)知道，平均無(wú)故障時(shí)間為 20天，如果出了故障需 2天方能修復(fù)，假定該設(shè)備發(fā)生故障時(shí)間及修復(fù)時(shí)間服從指數(shù)分布。 求： (1)該設(shè)備 5天和 15天的可靠度各為多少 ?； (2)該設(shè)備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少 ? 解： (1)該設(shè)備平均無(wú)故障時(shí)間時(shí)間為 20天，即 MTBF=20 因 MTBF=1/λ， λ=1/20； 同理平均修復(fù)時(shí)間為 2天， MTTR=1/μ， μ=1/2 R(5)=exp( λt)=exp(5/20)= R(15)=exp( λt)= exp(15/20)= (2)A= μ/(μ+λ)= A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22= 穩(wěn)態(tài)有效度定義 () U M T BFAA U D M T BF M T T R? ? ? ? ?? ? ?可 工 作 時(shí) 間可 工 作 時(shí) 間 不 能 工 作 時(shí) 間 概率的基本運(yùn)算 隨機(jī)事件 隨機(jī)事件的定義： 凡是事先不能確定結(jié)果的現(xiàn)象稱隨機(jī)現(xiàn)象，我們將一定條件下可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件的一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件，隨機(jī)事件的若干個(gè)結(jié)果也可組成一個(gè)事件，這種事件稱為復(fù)合事件 (如從撲克牌中抽一張，抽出 …. 、或 13等都是基本事件，抽出偶數(shù)牌是復(fù)合事件 )。 在一定的條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件是必然事件，記為 Ω ；一定不可能發(fā)生的事件為不可能事件，記為216。 。 隨機(jī)事件的概率 概率的統(tǒng)計(jì)定義： 假定在相同條件下進(jìn)行 n次重復(fù)試驗(yàn)，事件 A發(fā)生了 k次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n趨向無(wú)窮時(shí)，發(fā)生頻率的極限定義為事件 A發(fā)生的概率，記為 P(A)。 隨機(jī)事件就其單獨(dú)一次試驗(yàn)的結(jié)果是無(wú)法確定的，但只要同樣的試驗(yàn)在同一條件下重復(fù)多次，各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)的比例將會(huì)趨近于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值， 這是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)重要特征。 ( ) l imnkPAn??? 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 事件間的關(guān)系 如果事件 A包含事件 B，且事件 B包含事件 A，則稱事件 A與 B相等。記為 A=B。 B A A B??或(1)包含與相等關(guān)系：如果事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則稱事件 B包含事件 A，即： (2)事件的和： “ n個(gè)事件 A1， A2， … ， An中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件，稱為 Al， A2， … ， An的和事件。記為： 12 nkA A A Ank=1， 簡(jiǎn) 記 為 ：(3)事件的積： “ n個(gè)事件 A1， A2， … ，An同時(shí)發(fā)生”，稱為 Al， A2， … ， An的積事件。記為： 12 nkA A A Ank=1， 簡(jiǎn) 記 為 ：(4)事件的差： “事件 A發(fā)生，但事件 B不發(fā)生”，稱為事件 A與 B的差。記為： AB (5)對(duì)立事件或逆事件： “事件 A不發(fā)生”，稱為事件 A的對(duì)立事件或逆事件。記為： AA A A A?? ? ?(6)互斥事件或互不相容事件：“如果事件 A和事件 B不能同時(shí)發(fā)生”，稱事件 A與 B是互不相容事件 (互斥事件 )，有 AB=216。 。 事件間的運(yùn)算規(guī)律 概率運(yùn)算的基本公式 概率的加法公式 設(shè) A與 B是任意兩個(gè)事件，則 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) 特別地： ( 1 ) ( ) 1 ( )A A P A P A??若 是 的 對(duì) 立 事 件 ， 則 ：(2)當(dāng) A與 B為互不相容事件： P(AB)=P(216。 )=0， P(A+B)=P(A)+P(B) 推廣到 n維，若 A A A … 、 An為互不相容事件，有： 121( ) ( )nnkkP A A A P A?? ? ? ? ?例題： 條件概率公式 設(shè) A與 B是任意兩個(gè)事件，如果 P(B)0， P(A|B)(在事件 B發(fā)生的條件下， A事件發(fā)生的概率 )為 ()( | )()P ABP A BPB?特別地： ( | ) ( )A B P A B P A??如 果 ， 有 概率的乘法公式 設(shè) A與 B是任意兩個(gè)事件，如果 P(B)0，由條件概率公式： P(A|B)=P(AB)/P(B)， ( ) ( ) ( | )P A B P B P A B?對(duì)于 A， B， C三個(gè)事件： ( ) ( ) ( )P A B P A P B?( ) ( ) ( | ) ( | )P A B C P A P B A P C A B?特別地： (1)如果 A與 B相互獨(dú)立 (事件 A的發(fā)生不受事件 B的影響，事件 B的發(fā)生也不受事件 A的影響 )， (2)當(dāng)事件 A1,A2,…,A n相互獨(dú)立，概率的乘法公式可推廣到 n維 1 2 1 2( . . . ) ( ) ( ) . . . ( )nnP A A A P A P A P A?概率乘法公式 例題： 例題： 全概率公式 如果事件 A1,A2,…,A n滿足： (1) A1,A2,…,A n兩兩互不相容，且 P(Ai)0(i=1,2,…,n) (2) A1+A2+…+A n=Ω 即 A的全事件 對(duì)于任一事件 B都有： 1( ) ( ) ( | )niiiP B P A P B A?? ?全概率公式的常用形式： ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A??重要公式 在實(shí)際應(yīng)用中，如果能分析一個(gè)事件的發(fā)生是由幾種原因引起的，或者說(shuō)該事件的發(fā)生受到幾種因素的影響，并且這幾種原因或因素構(gòu)成了一個(gè)完備事件組，那么可考慮使用全概率公式。只要知道了各種原因 Ai發(fā)生條件下事件 B發(fā)生的概率，該事件 B的概率就可通過(guò)全概率公式求得。 貝葉斯公式 (逆概率公式 ) 設(shè)事件 A1,A2,…,A n為一完備事件， B為任一事件，且P(B)0，則： 1( ) ( | )( | )( ) ( | )jjj niiiP A P B AP A BP A P B A???證明： ()( | )()P ABP A BPB?由 條 件 概 率 公 式 ：()( | )()jjP A BP A BPB?: ( ) ( ) ( | )P A B P B P A B?乘 法 公 式()()jP BAPB? ( ) ( )P A B P B A?交 換 律 ：( ) ( | )()jjP A P B APB?1( ) ( | )( ) ( | )jjniiiP A P B AP A P B A??? 1( ) ( ) ( | )niiiP B P A P B A?? ?全 概 率 公 式 ： 貝葉斯公式所解決的技術(shù)問(wèn)題 1( ) ( | )( | )( ) ( | )jjj niiiP A P B AP A BP A P B A??? 貝葉斯公式解決： 如果已知各種原因的概率 (Aj)，設(shè)在隨機(jī)試驗(yàn)中該事件 B已發(fā)生，問(wèn)在這個(gè)條件下，各種原因 Aj發(fā)生的概率是多少 ? 如在可靠性工程中，已知某產(chǎn)品有 n種故障模式 A1，A2， … ， An，知道各故障模式發(fā)生的概率 P(Aj)，現(xiàn)在該產(chǎn)品發(fā)生了故障 (事件 B)，那么是故障模式 Ai引起的概率是多少 ?在這 n種故障模式中，最大可能的是哪種故障模式引起的 ? 例題： 貝葉斯公式 1( ) ( | )( | )( ) ( | )jjj niiiP A P B AP A BP A P B A?? ?概率運(yùn)算公式匯總表 隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征 隨機(jī)變量的概念 在實(shí)際問(wèn)題中，常用的隨機(jī)變量有 離散型隨機(jī)變量 和 連續(xù)型隨機(jī)變量 兩種類型： (1)如果隨機(jī)變量所可能取的值能夠一一列出來(lái)，即它的取值是有限個(gè)或無(wú)限個(gè)但可列出來(lái)，則稱 X為離散型隨機(jī)變量。如擲骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) X是能夠一一列出來(lái)的 (X=1，X=2， … ， X=6)， X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。 (2)如果隨機(jī)變量 X的所有可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 (a,b）。a可以是 ∞ ， b可以是 +∞ ，則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量。如一批零件的測(cè)量直徑，規(guī)定其偏差不超過(guò) 1mm，則偏差是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。 離散型隨機(jī)變量的概率分布 分布律 對(duì)于離散型隨機(jī)變量 X，其概率分布就是指它的概率分布律，簡(jiǎn)稱分布律。離散型隨機(jī)變量 X的一個(gè)可能取值，它取該值的概率為 pi，則 X的分布律可用下式表示： () iiP X x p?? 離散型隨機(jī)變量 X的分布律滿足以下兩條性質(zhì)： (1)X的每個(gè)取值的概率 A非負(fù)； (2)X的所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率之和為 1，即 ∑pi=1。 判斷離散型隨機(jī)變量的條件 例題 , 1 , 2 , 3 , 。 0!kC C kk? ?? ? ?k取 什 么 值 ， 實(shí) 數(shù) 列 p成 為 分 布 律 ？解：必須滿足兩個(gè)條件 : (1)pk≥ 0； (2) 1kkp ??1 1 0111 ( 1 ) ( 1 )!!( 1 ) 0( 1 )kkkK K kkp C C C ekkC e pCe?????? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?得 ； 且即 其 條 件 是0 !kkek?????? 累積分布函數(shù)或分布函數(shù) 累積分布函數(shù)定義： X取值不大于 x的概率為累積分布函數(shù)或分布函數(shù)，離散型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)可表示為： ( ) ( ) ( )iixxF x P X x P x x?? ? ? ??離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)具有以下三條性質(zhì)： (1)F(x)是不連續(xù)的，是一個(gè)非減的跳躍函數(shù)； (2)F(∞ )=0， F(+∞ )=1。 (3) 0≤F(x)≤1。 例如： 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 分布密度函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間 (a， b)，可以證明：連續(xù)型隨機(jī)變量取任一確定值的概率為 0，即P(X=c)=0， c∈ (a,b)。因此連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布就不能用分布律來(lái)描述。實(shí)際上，所以我們只有知道X在任一區(qū)間上取值的概率，才能掌握其概率分布規(guī)律，所以必須引入分布密度函數(shù)的概念。 例題：如何根據(jù)試驗(yàn)得出系統(tǒng)分布密度函數(shù) 移 例題：如何根據(jù)試驗(yàn)得出系統(tǒng)分布密度函數(shù) (續(xù) ) 連續(xù)型分布密度函數(shù)的性質(zhì) (判斷密度函數(shù)的條件 ) ( 1 ) ( ) 0( 2 ) ( ) 1fxf x d x f x x??????? ， 即 概 率 密 度 曲 線 () 與 軸 所 形 成 的 面 積 為 1 分布密度函數(shù) f(x)在任一點(diǎn) xo處的函數(shù)值 f(xo)不是概率而是分布密度。 隨機(jī)變量 X落在一個(gè)區(qū)間 [a,b]上的概率等于分布密度函數(shù) f(x)在該區(qū)間上的定積分，即 ( ) ( )baP a X b f x d x? ? ? ? 連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù) ( ) ( ) ( )xF x P X x f t dt??? ? ? ? 由右圖不難得出： ( ) ( )22xxP x X x f x x? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )baP a X b f t dt F b F a? ? ? ? ??如果△ x較小 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 均值與方差 在可靠性工程中，常用的數(shù)字特征為數(shù)學(xué)期望 (平均值 )與方差。如平均壽命 MTBF就是產(chǎn)品壽命的平均值，壽命方差是產(chǎn)品壽命與平均壽命之間的離差。數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值，而方差則反映了隨機(jī)