【文章內(nèi)容簡介】 的方程 39。 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )z n p x z n q x? ? ? ?再利用 3求解； ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) ( )n p x d x n p x d xz e n q x e d x c??????? ? ??????全微分（恰當）方程 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y??式中滿足 MNyx?????方程可寫為 ( , ) ( , ) d ( , ) 0M x y d x N x y d y u x y? ? ?即求原函數(shù) ( , )u x y00 0( , ) ( , ) ( , )xyu x y M x y d x M x y d y????含積分因子的方程 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y??式中 MNyx?????但 MNyx???????稱為原方程的積分因子 ( , )xy?找出積分因子，再按照 5求解 可降階微分方程的解法 —— 降階法 逐次積分 令 ,)( xpy ??令 ,)( ypy ??n 階線性微分方程 的一般形式為 )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? 高階線性微分方程 對應的 n 階齊次線性微分方程 為 ( ) ( 1 ) ( 2 )12( ) ( ) ( ) 0n n n ny a x y a x y a x y??? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3() nny x C y C y C y C y? ? ? ? ?解得 常數(shù)變易法 1 1 2 2 3 3* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nny x C x y C x y C x y C x y? ? ? ? ?代入 解 得 * ( )yyy x??二階非齊次方程 )()()( xfyxQyxPy ??????情形 1. 已知對應齊次方程通解 : )()( 2211 xyCxyCy ??③ 的特解為 )()( 21 xyxyy ??1()Cx 2()Cx③ 由于有兩個待定函數(shù) , 所以要建立兩個方程 : ④ 1 1 2 239。 39。 0y C y C??1 1 2 239。 39。 ( )y C y C f x???????⑤ ⑥ 故系數(shù)行列式 02121 ????yyyyW, 21 線性無關因 yy1 2 2 111( ) 39。 , ( ) 39。C x y f C x y fWW? ? ? ?于是得 情形 2. ).(1 xy僅知 ③ 的齊次方程的一個非零特解 ,)()( 1 xyxuy ?令 代入 ③ 化簡得 ??????? uyPyuy )2( 111 uyQyPy )( 111 ????? f?uz ??令fzyPyzy ????? )2( 111 (一階線性方程 ) ),(0 為常數(shù)qpyqypy ??????特征根 : 21 , rr(1) 當 時 , 通解為 xrxr eCeCy 21 21 ??21 rr ?(2) 當 時 , 通解為 xrexCCy 1)( 21 ??21 rr ?(3) 當 時 , 通解為 )s i nc o s( 21 xCxCey x ??? ??ir ?? ??2,1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 . 常系數(shù)齊次線性微分方程 )(01)1(1)( 均為常數(shù)knnnn ayayayay ?????? ?? ?特征方程 : 0111 ????? ?? nnnn ararar ?推廣 : 代入 ， 解得 xrey ?因式分解 203( ) ( ) ( ) ( ) 0km pr r r p r q r r r r? ? ? ? ? ?其中 是實數(shù)，而 是復數(shù) 03, , pr r r 12ri????、得 k 個線性無關解 若特征方程含 m 重復根 m個線性無關解 203( ) ( ) ( ) ( ) 0km pr r r p r q r r r r? ? ? ? ? ?原方程的通解形式為 xm exPyqypy ?)(.1 ??????? 為特征方程的 k (＝ 0, 1, 2) 重根 , xmk exQxy ?)(* ?則設特解為 ]s i n)(~c o s)([.2 xxPxxPeyqypy nlx ??? ???????為特征方程的 k (＝ 0, 1 )重根 , ?? i?xk exy ??*則設特解為 ]s i n)(~c o s)([ xxRxxR mm ?? ?3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形 . 常系數(shù)非齊次線性微分方程 222xzy??1. 求曲面 在點（ 2, 1, 1）處的切平面方程。 思路： 1）曲面的法向量 ( , , ) 0F x y z ? ( , , )x y zn F F F?2）平面方程（點法線形式） 0 0 0( ) ( ) ( ) 0x y zx x F y y F z z F? ? ? ? ? ?思考 ： 證明曲面 上任一點的切平 面在三個坐標軸上的截距之和為一常數(shù)。 ,0x y z a a? ? ? ?( 1,1, 2)?2. 一平面過點 M 與 z軸，求該平面方程。 思路： M x y z O 方法 2：設平面的法向量為 0A x B y C z D? ? ? ?代入條件：①過 z軸，即過原點 (0,0,0)。 ② 過 z軸，即過 (0,0,z)。 ③ 過 M(1,1,1). D = 0 C = 0 A = B ???0xy??方法 1：平面的一般方程 0 0 11 1 2i j kn k O M????? ? ??????再利用點法式，求平面方程。 k3 1 0: , : 2 6 1 4 1 2 1 0 .2 4 3 0x y zl x y zx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??3. 判斷以下直線 l 與平面 ∏的位置關系。 思路： 1）平面相交的直線的方向向量： l1n2n12l n n??2）平面的法向為平面方程 x,y,z 前的系數(shù)： n?3 1 0x y z? ? ? ? 1 (1, 1, 3)n ??2 4 3 0x y z? ? ? ?2 6 1 4 1 2 1 0x y z? ? ? ?2n?3）判斷 和 的關系：利用點積，叉積 或對應系數(shù)成比例等判斷。 nlln0 , 0 , 1 0x y x y? ? ? ? ?4. 在平面 xoy上點 M, 使它到三條直線 的距離的平方和最小 xyM N ?10xy? ? ?00( , )xy思路： 1）點到直線的距離 求直線 NM, 其斜率為 1ta n ( ) c o t2 ta n????? ? ? ? ?過點 M的直線方程， 001 ()ta ny y x x?? ? ? ?聯(lián)立直線方程，求得交點 N。 2）點到三直線的距離平方和為 22200d x y N M? ? ?3）二元函數(shù)求極值問題； 5. 求在 的極值點，并求出極大 或極小值 22( , ) 4 ( )f x y x y x y? ? ? ?步驟： 1）先求駐點： 4 2 04 2 0xyfxfy? ? ?? ? ? ?得駐點 ( 2, 2)。?2）判斷 ( 2 , 2 )204002x x x yy x y yffff??? ??? ? ? ? ??? ??????3） 20xxf ??為極小值點，極小值為 ( 2, 2)?? ( 2 , 2 ) ?f ??6. 在曲面 上求一點，使它到平面 的距離最短。 2224z x y? ? ?2 3 1x y z? ? ?dp0p( , , )x y z(1,0,0)思路： 在平面上任取一定點 ， 0p和曲面上一動點 ，則點 P p到平面的距離 d 為 到平面法線上的 投影。 0pp0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , , )d n p p x y z? ? ? ? ? ?1 2 3x y z? ? ? ?221 2 3 2 4x y x y? ? ? ? ? ?利用極值的判斷條件 ……. 7 x xy yz z思路： 設矩形底為 2x，高為 y，等腰 三角形的腰為 z，則根據(jù)周長條件得 x + y + z = p（ x0 ,y0,z 0） 窗戶面積 S : 222S x y x z x? ? ?依據(jù)條件極值：輔助函數(shù) 222 ( )F x y x z x x y z p?? ? ? ? ? ? ?求方程組 2 2 2 2 2222 / 020/00xyzF y z x x z xFxF x z z xx y z p???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??( 2 3 )3(1 )34( 3 2) .3xpypzp???????????????8. 交換 的積分次序。 2120( , )yyd y f x y d x???思路： 二重積分，根據(jù)積分區(qū)域可分為 X型和 Y型； 先對 x求積分再對 y求積分，為 Y型，交換積分次序的問題，先繪圖。 先對 x求積分，積分上下線為 x關于 y的函數(shù) 1 ()x f y y??22 ( ) 2x f y y? ? ?2yx?2 2yx??2yx?2 2yx??o2(1,1)11 2轉換成 Y型，先對 y求積分，再對 x求積分， 該題可以分成（ 0， 1），（ 1， 2）兩個區(qū)域 求解 …… 9. 計算二重積分 ，其中 D 是由直線 x=2, y=x 及 曲線 xy =1 組成。 2 ddDx xyy??x y o 1 2 2 思路： 方法一，選擇采用 X型積分。 先對 y求積分，再對 x求積分： 則 2122 1d d . . . .xxDxxx y d x d yyy???? ? ?方法二，選擇采用 Y型積分。 先對 x求積分，再對 y求積分： 則 1 2 2 2112 2 212d d . . . .yyDx x xx y d y d x d y d xy y y? ? ??? ? ? ? ?1210. 確定的 值（ 為整數(shù)），使曲線積分 22( ) ( s i n )l x y d x x y d y?? ? ??與路徑無關，并求該曲線積分，其中 l 為圓周 上由 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段弧。 22 2x y x??思路： 曲線積分與路徑無關的等價條件： PQyx?????1??1 2 x y 1 A O 沿題目的路徑 l 積分較困難，因此選擇容易的路徑 如圖示，先沿著 x軸從（ 0,0）到（ 1,0）此時 y=0 dy=0 1 20 ...x d x ??再從（ 1,0）朝 y軸方向到（ 1,1） ,此時 x=1,dx=0. 11 2001 c o s 2( 1 s i n ) ( 1 ) . . . .2yy d y d y?? ? ?