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正文內(nèi)容

課標(biāo)高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程歸納整合新人教a版選修ppt課件(編輯修改稿)

2025-05-30 12:01 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 】 已知橢圓x24+y22= 1 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P , Q ,設(shè) P ( x 1 ,y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 且 x 1 + x 2 = 2. ( 1) 求證:線段 PQ 的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) A ; ( 2) 設(shè)點(diǎn) A 關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)是 B ,求 | PB |的最小值及相應(yīng)的 P點(diǎn)坐標(biāo). (1) 證明 ∵ P ( x1, y1) , Q ( x2, y2) ,且 x1+ x2= 2. 當(dāng) x1≠ x2時(shí),由?????x21+ 2 y21= 4 ,x22+ 2 y22= 4 ,得y1- y2x1- x2=-12x1+ x2y1+ y2. 設(shè)線段 PQ 的中點(diǎn) N (1 , n ) , ∴ kPQ=y(tǒng)1- y2x1- x2=-12 n, ∴ 線段 PQ 的垂直平分線方程為 y - n = 2 n ( x - 1) , ∴ (2 x - 1) n - y = 0 ,該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn) A??????12, 0 . 當(dāng) x1= x2時(shí),線段 PQ 的 中垂線也過(guò)定點(diǎn) A??????12, 0 . 綜上,線段 PQ 的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn) A??????12, 0 . ( 2) 解 由于點(diǎn) B 與點(diǎn) A 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱, 故點(diǎn) B??????-12, 0 . ∵ - 2 ≤ x1≤ 2 ,- 2 ≤ x2≤ 2 , ∴ x1= 2 - x2∈ [0 , 2] , | PB |2=??????x1+122+ y21=12( x1+ 1)2+74≥94, ∴ 當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0 , 177。 2 ) 時(shí), | PB |m in=32. 專題五 圓錐曲線中的探索問(wèn)題 解析幾何中探索性問(wèn)題的結(jié)論往往不明確,需要根據(jù)已知條件通過(guò)推理論證或計(jì)算對(duì)結(jié)論作出明確的肯定或否定,因此 解決起來(lái)具有較大的難度. 化解這類試題難點(diǎn)的主要方法就是明確這類問(wèn)題的解題思想:即假設(shè)其結(jié)論成立、存在等,在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證,如果得到了一個(gè)合情合理的推理結(jié)果,就肯定假設(shè),對(duì)問(wèn)題作出正面回答;如 果得到一個(gè)矛盾的結(jié)果,就否定假設(shè),對(duì)問(wèn)題作出反面回答;在這個(gè)解題思想指導(dǎo)下解決探索性問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q具有明確結(jié)論的問(wèn)題. 【例 6 】 ( 2022 溫州十校模擬 ) 已知橢圓 P 的中心 O 在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ( 0 , 2 3 ) ,離心率為12. ( 1) 求橢圓 P 的方程; ( 2) 是否存在過(guò)點(diǎn) E (0 ,- 4) 的直線 l 交橢圓 P 于點(diǎn) R , T ,且滿足OR→ OT→=167. 若存在,求直線 l 的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 ( 1) 設(shè)橢圓 P 的方程為x2a2 +y2b2 = 1( a b 0) , 由題意,得 b = 2 3 , e =ca=12, ∴ a = 2 c , b2= a2- c2= 3 c2, c2= 4 , c = 2 , a = 4 , ∴ 橢圓 P 的方程為x216+y212= 1. ( 2) 假設(shè)存在滿足題意的直線 l . 易知當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí), OR→ OT→0 不滿足 題意.故可設(shè)直線 l 的方程為 y = k x - 4 , R ( x1, y1) , T ( x2, y2) . ∵ OR→ OT→=167, ∴ x1x2+ y1y2=167. 由????? y = k x - 4 ,x216+y212= 1 ,得 (3 + 4 k2) x2- 32 k x + 16 = 0 , 由 Δ 0 得, ( - 32 k )2- 4( 3 + 4 k2) 16 0 , 解得 k214. ① ∴ x1+ x2=32 k3 + 4 k2, x1x2=163 + 4 k2, ∴ y1y2= ( k x1- 4) ( k x2- 4) = k2x1x2- 4 k ( x1+ x2) + 16 , 故 x1x2+ y1y2=163 + 4 k2+16 k23 + 4 k2-128 k23 + 4 k2+ 16 =167, 解得 k2= 1 , ② 由 ①② 解得 k = 177。1 , ∴ 直線 l 的方程為 y = 177。 x - 4. 故存在直線 l : x + y + 4 = 0 或 x - y
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