課標(biāo)高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程歸納整合新人教a版選修ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-30 12:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 】 已知橢圓x24＋y22＝ 1 上的兩個動點 P ， Q ，設(shè) P ( x 1 ，y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) 且 x 1 ＋ x 2 ＝ 2. ( 1) 求證：線段 PQ 的垂直平分線經(jīng)過一個定點 A ； ( 2) 設(shè)點 A 關(guān)于原點 O 的對稱點是 B ，求 | PB |的最小值及相應(yīng)的 P點坐標(biāo)． (1) 證明 ∵ P ( x1， y1) ， Q ( x2， y2) ，且 x1＋ x2＝ 2. 當(dāng) x1≠ x2時，由?????x21＋ 2 y21＝ 4 ，x22＋ 2 y22＝ 4 ，得y1－ y2x1－ x2＝－12x1＋ x2y1＋ y2. 設(shè)線段 PQ 的中點 N (1 ， n ) ， ∴ kPQ＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝－12 n， ∴ 線段 PQ 的垂直平分線方程為 y － n ＝ 2 n ( x － 1) ， ∴ (2 x － 1) n － y ＝ 0 ，該直線恒過一個定點 A??????12， 0 . 當(dāng) x1＝ x2時，線段 PQ 的 中垂線也過定點 A??????12， 0 . 綜上，線段 PQ 的垂直平分線恒過定點 A??????12， 0 . ( 2) 解 由于點 B 與點 A 關(guān)于原點 O 對稱， 故點 B??????－12， 0 . ∵ － 2 ≤ x1≤ 2 ，－ 2 ≤ x2≤ 2 ， ∴ x1＝ 2 － x2∈ [0 ， 2] ， | PB |2＝??????x1＋122＋ y21＝12( x1＋ 1)2＋74≥94， ∴ 當(dāng)點 P 的坐標(biāo)為 (0 ， 177。 2 ) 時， | PB |m in＝32. 專題五 圓錐曲線中的探索問題 解析幾何中探索性問題的結(jié)論往往不明確，需要根據(jù)已知條件通過推理論證或計算對結(jié)論作出明確的肯定或否定，因此 解決起來具有較大的難度． 化解這類試題難點的主要方法就是明確這類問題的解題思想：即假設(shè)其結(jié)論成立、存在等，在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果得到了一個合情合理的推理結(jié)果，就肯定假設(shè)，對問題作出正面回答；如 果得到一個矛盾的結(jié)果，就否定假設(shè)，對問題作出反面回答；在這個解題思想指導(dǎo)下解決探索性問題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q具有明確結(jié)論的問題． 【例 6 】 ( 2022 溫州十校模擬 ) 已知橢圓 P 的中心 O 在坐標(biāo)原點，焦點在 x 軸上，且經(jīng)過點 A ( 0 ， 2 3 ) ，離心率為12. ( 1) 求橢圓 P 的方程； ( 2) 是否存在過點 E (0 ，－ 4) 的直線 l 交橢圓 P 于點 R ， T ，且滿足OR→ OT→＝167. 若存在，求直線 l 的方程；若不存在，請說明理由． 解 ( 1) 設(shè)橢圓 P 的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 由題意，得 b ＝ 2 3 ， e ＝ca＝12， ∴ a ＝ 2 c ， b2＝ a2－ c2＝ 3 c2， c2＝ 4 ， c ＝ 2 ， a ＝ 4 ， ∴ 橢圓 P 的方程為x216＋y212＝ 1. ( 2) 假設(shè)存在滿足題意的直線 l . 易知當(dāng)直線 l 的斜率不存在時， OR→ OT→0 不滿足 題意．故可設(shè)直線 l 的方程為 y ＝ k x － 4 ， R ( x1， y1) ， T ( x2， y2) ． ∵ OR→ OT→＝167， ∴ x1x2＋ y1y2＝167. 由????? y ＝ k x － 4 ，x216＋y212＝ 1 ，得 (3 ＋ 4 k2) x2－ 32 k x ＋ 16 ＝ 0 ， 由 Δ 0 得， ( － 32 k )2－ 4( 3 ＋ 4 k2) 16 0 ， 解得 k214. ① ∴ x1＋ x2＝32 k3 ＋ 4 k2， x1x2＝163 ＋ 4 k2， ∴ y1y2＝ ( k x1－ 4) ( k x2－ 4) ＝ k2x1x2－ 4 k ( x1＋ x2) ＋ 16 ， 故 x1x2＋ y1y2＝163 ＋ 4 k2＋16 k23 ＋ 4 k2－128 k23 ＋ 4 k2＋ 16 ＝167， 解得 k2＝ 1 ， ② 由 ①② 解得 k ＝ 177。1 ， ∴ 直線 l 的方程為 y ＝ 177。 x － 4. 故存在直線 l ： x ＋ y ＋ 4 ＝ 0 或 x － y
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