【文章內(nèi)容簡介】 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222222222222)(2)(2)(?應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 ?—— 圣維南 （ Saint Venant） 方程 物體在載荷作用下 應(yīng)變、應(yīng)力 位移法：先確定位移，由幾何方程確定應(yīng)變，因連續(xù)方程由幾何方程推出，自然滿足 力法：先確定應(yīng)力，變形必須要連續(xù)方程 167。 邊界條件 彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。 邊界面力已知： Fsj 應(yīng)力邊界條件 ? 設(shè)物體表面為 S ? 位移已知邊界 Su ? 面力已知邊界 S? 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。 面力邊界條件 描述彈性體表面的平衡 平衡微分方程 描述彈性體內(nèi)部的平衡 這種平衡只是 靜力學(xué)可能的平衡 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足 變形連續(xù)條件 iijsj nF ??nmlF zxyxxs j x ??? ???nmlF zyyxys j y ??? ???nmlF zyzxzs j z ??? ???位移邊界條件 邊界位移已知： 位移邊界條件 就是彈性體表面的 變形協(xié)調(diào) 彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu ???wuu?應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。 ?邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。 ?位移邊界條件 —— 表面的位移或變形與已知邊界位移或變形相等 。 混合邊界條件 彈性體邊界 S＝ S?＋ Su 部分邊界位移已知 —— 位移邊界 Su 部分邊界面力已知 —— 面力邊界 S? 一 、 廣義虎克定律 彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系都可寫為 ： zxyzxyzyxx cccccc ??????? 161514131211 ??????zxyzxyzyxy cccccc ??????? 262524232221 ??????zxyzxyzyxz cccccc ??????? 363534333231 ??????zxyzxyzyxxy cccccc ??????? 464544434241 ??????zxyzxyzyxyz cccccc ??????? 565554535251 ??????zxyzxyzyxzx cccccc ??????? 666564636261 ??????（ 1） 167。 線彈性本構(gòu)關(guān)系 ? ??????????????????66636261363332312623222116131211ccccccccccccccccD?????????用矩陣表示 為： }]{[}{ ?? D?稱為應(yīng)變列陣 Tzxyzxyzyx ][}{ ??????? ?Tzxyzxyzyx ][}{ ??????? ?稱為應(yīng)力列陣 式中 ： 稱為彈性矩陣，由 6 6＝ 36個彈性常數(shù)組成的 6 6階矩陣。 ??D（ 2） 二 、 極端各向異性體的本構(gòu)方程 極端各向異性體 —— 物體內(nèi)任一點沿任何兩個不同方向的彈性性質(zhì)都互不相同 。 特點：任何一個應(yīng)力分量都會引起 6個應(yīng)變分量 。也就是說正應(yīng)力不僅能引起線應(yīng)變 ， 還能引起剪應(yīng)變 。 本構(gòu)方程： ?????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa????????????666261363231262221161211????????（ 3） ? ? ? ?? ??? A?即： 為了說明問題 ， 將 6個應(yīng)力分量編號為： σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx 1 2 3 4 5 6 將 6個應(yīng) 變 分量產(chǎn)生的位置編號為： X軸 y軸 z軸 xy面 yz面 zx面 1 2 3 4 5 6 則： σ x 所引起的 6個應(yīng)變分量為： 在 x軸引起的線應(yīng)變?yōu)?: a11σ x 在 y軸引起的線應(yīng)變?yōu)?: a21σ x 在 z軸引起的線應(yīng)變?yōu)?: a31σ x 在 xy面引起的剪應(yīng)變?yōu)?:a41σ x 在 yz面引起的剪應(yīng)變?yōu)?:a51σ x 在 zx面引起的剪應(yīng)變?yōu)?:a61σ x 即 上式用應(yīng)力表示應(yīng)變。 1][][ ?? ADijij ca1? 式中： aij代表第 j個應(yīng)力分量等于 1個單位時在 i方向所引起的應(yīng)變分量 ， 如 a31表示 σ x等于一個單位時在 z方向引起的應(yīng)變分量 。 可 以 證 明 ， cij=cji。 aij=aji,是對稱矩陣 。 36個彈性常數(shù)中只有 21個是獨立的 。 三、正交各向異性體 概念 （ 1） 彈性對稱面：在任意兩個與某個面對稱的方向上 ， 材料的彈性相同 （ 彈性常數(shù)相同 ） ， 那么 ， 這個面就是對稱面 。 （ 2） 彈性主向：垂直于彈性對稱面的方向為彈性主向 。 （ 3） 正交各向異性體：彈性體中存在 3個互相正交的彈性對稱面 ， 在各個對稱面的對稱方向上 ， 彈性相同 ， 但在這 3個彈性主向上的彈性并不相同 ， 這種物體稱為正交異性體 。 特點：由于對稱關(guān)系 ， 正應(yīng)力分量只能引起線應(yīng)變 ，不能引起剪應(yīng)變 。 剪應(yīng)力不會引起線應(yīng)變 ， 并且 ， 只能引起相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變 ， 不會影響其它方向的剪應(yīng)變 . 以三個正交的彈性對稱面為坐標(biāo)面， x,y,z坐標(biāo)軸為彈性主向。根據(jù)對稱性， 正應(yīng)力分量只能引起線應(yīng)變，不能引起剪應(yīng)變。 則有： 000635343625242615141?????????aaaaaaaaa?????????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa????????????665544333231232221131211000000000000000000000000只有 9個獨立的彈性常數(shù)。 同樣 ， 作用在正交各向異性體上的剪應(yīng)力不會引起線應(yīng)變的變化 ， 并且 ， 只能引起相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變 ， 不會影響其它方向的剪應(yīng)變 .即 τ xy只引起 γ xy的變化 。 則有： 000564636261665453525156454342414???????????????aaaaaaaaaaaaaaa正交各向異性體的本構(gòu)方程： 由（ 3）式得： （ 4） 四 、 橫觀各向同性體 概念 各向同性面 ： 某一平面內(nèi)的所有各方向的彈性性質(zhì)相同 ， 這個面為各向同性面 。 橫觀各向同性體 ：具有各向同性面 ， 但垂直此面的力學(xué)性質(zhì)是不相同的 ， 這類物體稱為橫觀各向同性體 。 特點 在平行于各向同性面的所有各個方向 （ 橫向 ） 都具有相同的彈性 。 層狀巖體屬于橫觀各向同性體 ， 平行于層面的各個方向是橫向 ， 垂直層面的方向是縱向 。 設(shè) xz平面為各向同性面 ， 根據(jù)橫觀各向同性體的特點 ，z方向和 x方向的彈性性質(zhì)相同 ， 則： (1)單位 σ z所引起的 ε z等于單位 σ x所引起的 ε x,即 a33=a11 (2)單位 σ z所引起的 ε y等于單位 σ x所引起的 ε y,即 a23=a21 (3)單位 τ xy所引起的 γ xy等于單位 τ zy所引起的 γ zy,即a44=a55 橫觀各向同性體的本構(gòu)方程 由（ 4）式得： （ 5） ?????????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa????????????664444111213122212131211000000000000000000000000 可見：在矩陣 [A]中只剩下 a11,a12,a13,a22,a44,a66六個常數(shù)項 ， 并且由彈性力學(xué)公式有： (單位 σ x在 X軸上產(chǎn)生的變形） 1111Ea ?(單位 σ y在 y軸上產(chǎn)生的變形） 2221Ea ?(單位 σ z在 X軸上產(chǎn)生的變形） 1113 Ea???(單位 τ xy在 XY面上產(chǎn)生的剪應(yīng)變） 2441Ga ?單位 τ zx在 ZX面上產(chǎn)生的剪應(yīng)變） 1661Ga ?(單位 σ y在 X軸上產(chǎn)生的變形） 2212 Ea??? 可見，橫觀各向同性體只有 5個獨立的彈性常數(shù)：E E μ 1 、 μ 2 、 G2 。 E μ 1 分別為各向同性面內(nèi)巖石的彈性模量和泊松比， E μ 2分別為垂直于各向同性面方向的彈性模量和泊松比 。 并且： )1(2 111 ???EG (在橫觀各向同性面內(nèi)） 概念 各向同性體：物體內(nèi)任一點沿任一方向的彈性都相同 。 特點： X、 Y、 Z三個方向的彈性相同 ， 即 五、 各向同性體 Eaaa1332211 ???Eaaa?????231312Gaaa1665544 ???且 : )1(2, 2121 ???? ??????EGEEE可見 ， 各向同性體只有 2個獨立的彈性常數(shù) E和 μ 。 本構(gòu)方程 由（ 5）式得： （ 6） ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxGGGEEEEEEEEE??????????????????100000010000001000000100010001（ 6）式可寫為： 應(yīng)力表示應(yīng)變 （ 7） ? ?)(1 zyxx E ????? ???? ?)(1 zxyy E ????? ???? ?)(1 xyzz E ????? ???xyxy G ??1?yzyz G ??1?zxzx G ??1?應(yīng)變表示應(yīng)力： ?????? ??????? )(1)21)(1()1(zyxxE ??