【文章內(nèi)容簡介】 1ATAAt0Atxxeexexedxe)t,0(Webbeedx)t,0(WebbeexeffffffTffTff???????????????????????再證明若系統(tǒng)可控，則式 (986)成立 根據(jù)凱萊 — 哈密爾頓定理 ???? ? ?? d)(bue)0(xft0A（ 988） ????? ????1n0mmmA A)(e （ 989） 假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即 x(tf)=0 。根據(jù) (954)式，則有 把 (989) 式代入 (988) 式，得 記 ??????? ????d)(u)(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )ftmmu d u m n? ? ? ? ? ? ??m1n0mm ubA)0(x ????這時(shí) 0111( 0 ) nnuux b A b A bu?????????????? ??????（ 990） 由于 x(0)是任意的 n維向量， (990)式要有解，一定有 (986)式成立，即 n)bAbAAbb(r a n k 1n2 ???由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于 (984) 式中的 A陣和 b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為 S，這樣，可控的充要條件就寫成： rankS=n 或 detS≠0 。 圖 911 不可控系統(tǒng) 例子 系統(tǒng)可控 uxx??????????????????????????110041020122?? ????????????????9414212102 bAAbbPc01d et ???cP系統(tǒng) 3 約當(dāng)型方程的可控性判據(jù) 約當(dāng)塊的一般形式為 ????????????????111111001????????由前面討論可知，等價(jià)變換不改變可控性。 可控的充分必要條件為 ①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。 ②每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的 b中的元素不為零。 這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。 例 912 ubbbbx11x43212211???????????????????????????????系統(tǒng)狀態(tài)方程為 i21 b, ??試確定系統(tǒng)可控時(shí)， 應(yīng)滿足的條件。 解： 0bb)( 4221 ???? 如果用直接計(jì)算可控性矩陣的方法 也可得到同樣結(jié)果 . 因?yàn)?A陣有兩個(gè)若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的 (1)應(yīng)有 ，由判據(jù)的 (2)， A的第二行所對應(yīng)的 b中的元素 b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為 21 ???可控標(biāo)準(zhǔn)形 uxxn???????????????????????????????????????100010000010000101210????????????（ 992） 則系統(tǒng)一定可控。 一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式 (992)式的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的 可控標(biāo)準(zhǔn)形 。 ? 對于一般的單輸入 n維動態(tài)方程 (993) ? 其中 A， b分別為 n n,n 1的矩陣。成立以下定理： 若 n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。 buAxx ???下面給出變換矩陣 P的構(gòu)成方法 ① 計(jì)算可控性矩陣 S； ② 計(jì)算 ，并記 的最后一行為 h。 ③ 構(gòu)造矩陣 P ④ 令 1S?21nhhAP hAhA??????????????????Pxx ?1S?1?? P A PA PBB ? 1?? CPCDD ? 即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。 例 913 ? 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ? 試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 u110x041020122x???????????????????????????解： ? 先判斷可控性，再計(jì)算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 ? 故系統(tǒng)可控。 ? 一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 ? ?0Sd et941421210bAAbbS2????????????????此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是 A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。 則變換矩陣為 ? ?112h112225012S 1 ??????????????????????????????????????????? ?102121012P324223112P 1可求出 12 1 1 2 2 1 2 1 03 2 2 0 2 0 1 2 14 2 3 1 4 0 2 0 10 1 00 0 12 5 4A P A P?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????????? ? ????????????????????????????????????????100110324223112Pbb5 系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解 ? 系統(tǒng)可控時(shí)，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時(shí)應(yīng)有 ? ? nnbAAbbr an k 11n ????下面的結(jié)果被稱為 系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理 若單變量系統(tǒng) (984， 85)式的可控性矩陣滿足 (9103）式，則存在可逆線性變換矩陣 P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式 式中 是 n1維向量 , 是 n2維向量，并且 ? ?1 2 1 114221122( 9 10 4)0 0( 9 10 5 )A A x bxuAxxxy c c dux?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ?????? ? ?????? ? 111n1111 nbAbAbr a n k 1 ???db)AsI(cdb)AsI(c 111n11 1 ????? ??（ 9106） （ 9107） 1x 2x(9106)式表明下面的動態(tài)方程是可控的： ? （ 9107)式表明的動態(tài)方程式 (9108， 109)和原來的 n維動態(tài)方程式 (984， 85)具有相同的傳遞函數(shù)。或者說 傳遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。 duxcyubxAx111111?????（ 9108） （ 9109） 證明： ? ? nnbAbAbAAbbr a n k 11nn1n 11 ???? ?? （ 9110） 考察 (9103)式，并將它重新寫出如下 ? ? 11n nbAAbbr a n k 1 ???進(jìn)而可以證明 1nn21 q,q,q ??補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量 11 ,, 211 nnn qqqbAAbb ?? ??并使得向量組 線性無關(guān)。 令 ]q,q,q,bA,Ab,b[P 11 nn211n1 ??? ? ??若將 (9104， 105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來， (9104，105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖 912所示。 Pbb,P A PA 1 ?? ?即可證明 具有定理所要求的(9104)的形式。 圖 912 系統(tǒng)按可控性分解 ? 從圖 912中可見，控制輸入不能直接改變 也不能通過影響 間接改變 ，故 這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。 ? 由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。 1x 2x2x例 914 ? 設(shè)有系統(tǒng)方程如下 ? 其傳遞函數(shù)為 ? 試進(jìn)行可控性分解 。 ? ? x001yu010x110010011x ????????????????????????2)1s(1)s(g??解： ? ?????????????210111210bAAbbS 2系統(tǒng)的可控性矩陣 由于 S的第 3列是第 1列與第 2列的線性組合，系統(tǒng)不可控 。 1 ( 0 0 1 ) Tq ?選取 計(jì)算出 ? ?10 1 01 1 00 1 1P b Ab q?????????????? ?010cPc,001Pbb,100021010P A PA11???????????????????????? ?????構(gòu)成 1 1 01 0 01 0 1P?????????????故有 因而得 ? ?10c01b21 10A 111 ?????????????? ??? ? 210 01r a nkbAbr a nk 111 ????????? ? )s(g)1s(1012s11s10b)AsI(c211111 ?????????????????????三、線性系統(tǒng)的可觀測性 設(shè) n維單變量線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為 cxy,buAxx ???? (9113,114) 如果在有限時(shí)間間隔 [0, t1 ]內(nèi)，根據(jù)輸出值 y(t)和輸入值 u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) x(0)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)是 完全可觀測 的，簡稱 可觀 的。 式中 A,b,c分別為 矩陣。 可觀測性的定義 , 1 , 1n n n n? ? ? 若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可觀測 (不能被確定 )的，則稱系統(tǒng)不可觀。 圖 913 不可觀測系統(tǒng) 分析 (9117)式，當(dāng)知道某一時(shí)刻的輸出時(shí)， (9117)式是 n個(gè)未知量 x(0)的 (一個(gè) )方程，顯然不能唯一確定初值，要解出 x(0) ，必須要利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將 (9117)式左乘一個(gè)列向量，再從 0到 t1積分就可得到 n個(gè)未知數(shù) x(0)的 n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。 ()0( ) ( ) (0 ) ( )tA t A tg t c x t c e x c e b u d? ???? ? ? ?(9117) 我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出 2 可觀測性判據(jù) 可觀測的 充分必要條件 是 n