【文章內(nèi)容簡介】 多個觀測向量線性函數(shù)的協(xié)方差陣 若觀測向量的多個線性函數(shù)為 則令 0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????0201010212222111211211,tttnttnnntttkkkKkkkkkkkkkKZZZZ?????????52 南京林業(yè)大學土木工程學院 于是，觀測向量的多個線性函數(shù)可寫為 。 故有 式中： 為對稱方陣。 若還有觀測向量的另外 r個線性函數(shù) 其矩陣形式為： 0KKXZ ??TXXZZ KKDD ?0221120222212121012121111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY??????????????????????????0FFXY ??TZZZZ DD ?53 南京林業(yè)大學土木工程學院 則有： 而 同理： TYYTXXrr YYDFFDD ???TYZTXXrt ZYDFKDD ???TXXTTTTtrYZKFDKEXEXXEXFEkXKEkKXFXFEFFXEZEZYEYED???????????????]))() ) (([(]))()()([(]))() ) (([(000054 南京林業(yè)大學土木工程學院 多個觀測向量非線性函數(shù)的協(xié)方差陣 基本思想： a、 用全微分代替全增量，得到函數(shù)誤差表達式（線性近似）； b、 應用協(xié)方差傳播律。 設觀測向量的 t個非線性函數(shù)為： 對上式求全微分，得 ? ?? ?? ?nttnnXXXfZXXXfZXXXfZ,,,2121222111?????????55 南京林業(yè)大學土木工程學院 令 則由誤差傳播定律得： nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22112222112212211111?????????????????????????????????????????????????????????????????????ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKdXdXdXdXdZdZdZdZ?????????2122212121112121,TXXZZ KKDD ?56 南京林業(yè)大學土木工程學院 ?由以上推導知，求非線性函數(shù)的方差 —協(xié)方差矩陣比求線性函數(shù)的方差 —協(xié)方差矩陣只多一個求全微分的步驟。 ?例題 6 ?例題 7 57 南京林業(yè)大學土木工程學院 應用協(xié)方差傳播律時應注意的問題 （ 1）根據(jù)測量實際，正確地列出函數(shù)式； （ 2）全微分所列函數(shù)式，并用觀測值計算偏導數(shù)值； （ 3）計算時注意各項的單位要統(tǒng)一； （ 4）將微分關系寫成矩陣形式； （ 5）直接應用協(xié)方差傳播律，得出所求問題的方差 ——協(xié)方差矩陣。 58 南京林業(yè)大學土木工程學院 ?協(xié)方差傳播律的應用 水準測量的精度 算術平均值的精度 若干獨立誤差的聯(lián)合影響 平面控制點的點位精度 點位方差： 59 222222222?????????SSuSyxp??????南京林業(yè)大學土木工程學院 ? 權的概念 權是表征精度的相對指標，指觀測值所占的比重，精度越高，比重越大。 ? 權的定義 權與方差成反比 權的意義，不在于其數(shù)值的大小，重要的是它們之間的比例關系。 ? 示例 1 220iip ??? 60 2222122022202120211::1:1:::::nnnppp ????????? ??? ??南京林業(yè)大學土木工程學院 ? 權的特點 （ 1）選定一個 ，即有一組對應的權； （ 2） 不同，權不同，但權之間的比值不變； （ 3）同一個問題中只能選一個 ，不能選多個，否則就破壞了權之間的比例關系。 （ 4）只要事先給定觀測條件，就可確定權的數(shù)值。 ? 單位權中誤差的概念 權為 1的觀測值所對應的中誤差，稱為單位權中誤差，即 。 61 0?0?0?0?南京林業(yè)大學土木工程學院 ? 定權的常用方法 水準測量的權 1）按測站數(shù)確定 2）按路線長度確定 同精度觀測值之算術平均值的權 62 ii NCp ?nn NNNppp1::1:1:::2121 ?? ?nn SSSppp1::1:1:::2121 ?? ?CNp ii ?N： 每段路線的測站數(shù) S：各水準 路線的長度 N：觀測值的觀測次數(shù) 南京林業(yè)大學土木工程學院 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣 協(xié)因數(shù)即為權倒數(shù)。 63 2021?? iiii pQ ?? XXXX DQ 201??XXXX QD 20???????????????nnnnnnXX???????212222111211特點 ： I 對稱，對角元素為權倒數(shù) II 正定 III 各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當為等精度觀測，為單位陣。 南京林業(yè)大學土木工程學院 即有： 協(xié)因數(shù)陣 也稱為 權逆陣 。 64 ???????????????????????????????????????????nnLLLLPPPDQ1. . .00. . .0. . .10. . .01. . .000. . .0. . .01212022022202120??????????????1, ???? LLLLLLLL QPQP?????????????nLLPPPP...00...0...0...021???南京林業(yè)大學土木工程學院 協(xié)因數(shù)傳播律 稱為協(xié)因數(shù)傳播律，或權逆陣傳播律。與協(xié)方差傳播律合稱為廣義傳播律。 權倒數(shù)傳播律 65 TXXZZ KK ?0KKXZ ??0FFXY ??TYYTXXrr YYQFF ???TYZTXXrt ZYQFK ???nnZnPLfPLfPLfPLLLfZ1)(1)(1)(1),(222212121?????????????南京林業(yè)大學土木工程學院 全微分 例題 10 ：算術平均值之權等于觀測值之權的 n倍。 例題 11 ：帶權平均值的權等于各觀測值權之和。 例題 12： 66 nnZ pkpkpkpK d LdZ1111 2222121 ??????npp X ???? niiX pp121KXZFXY?? TXXYZ KF 21?南京林業(yè)大學土木工程學院 單位權中誤差的計算 ? 用不同精度的真誤差計算單位權中誤差的公式如下： ? 實際應用 1）由三角形閉合差求測角中誤差 67 npniiin?????? 120 lim? npniii???? 120??nniin?????? 12lim????? 3??nnii3? 12????? ? 菲列羅公式 南京林業(yè)大學土木工程學院 本章小結： 方差 —— 協(xié)方差矩陣的定義 協(xié)方差傳播律 （線性和非線性） 應用協(xié)方差傳播律所應注意的問題 權與定權的常用方法 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律 TXXnnnnnXX DD ????????????????2212221211221????????????????TXXZZ KKDD ?Ch3協(xié)方差傳播律及權 68 南京林業(yè)大學土木工程學院 測試題 31 已知單位權方差為 、觀測值 的權矩陣為 試求： 的方差 的方差 與 的協(xié)方差 420 ???????????????200042026P52 3211 ???? LLLF22F?2F1F 21FF?1 2 31 0 , 1 0 , 5L L L? ? ?2 2 22 1 1 2 1 3 2 2 3 31 1 1 1 1 11 0