【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定你的優(yōu)先計(jì)劃安排系統(tǒng)，你還需作一些附加的假設(shè)，請(qǐng)?jiān)斒鲞@些假設(shè)。將來你可能希望有附加的數(shù)據(jù)，如果有，詳述這些需要的信息。 MCM93 問題 A 加速餐廳剩菜堆肥的生成 一家注重環(huán)境的學(xué)校餐廳正用微生物把顧客沒吃完的食物再循環(huán)生成堆肥。每天餐廳把吃剩的食物和泥漿 (粘 結(jié)劑 )混合，再把它們和廚房里容易弄碎的色拉菜以及少量的扯碎的紙片混合，并把混合物喂給一種真菌培養(yǎng)物和土壤細(xì)菌，它們把泥漿、綠葉菜、紙片消化形成有用的塔肥。易碎的綠葉萊為真菌培養(yǎng)物提供氧氣，而紙片則吸收過量的濕氣。但有時(shí)真菌培養(yǎng)物顯得不能或不肯消化顧客留下的那么多的剩飯菜。餐廳并沒有因?yàn)檎婢囵B(yǎng)物沒有胃口而責(zé)怪廚師長(zhǎng)。餐廳收到要大量購(gòu)買他們生產(chǎn)的堆肥的報(bào)價(jià)，所以餐廳正在研究增加堆肥產(chǎn)量的方法。由于無力營(yíng)建一套新的堆肥設(shè)備，因此餐廳首先尋求能加速真菌培養(yǎng)物活力的方法，例如，通過優(yōu)化真菌培養(yǎng)物的環(huán)境 (眼下大約是在 120F 和 100％濕度的環(huán)境下生成堆肥的 )，或通過優(yōu)化喂給真菌培養(yǎng)物的混合物統(tǒng)成，或同時(shí)優(yōu)化兩者 (而達(dá)到加速真菌培養(yǎng)物的活力 )。 試決定在喂給真菌培養(yǎng)物的混合物中泥漿、綠葉萊和紙片印比例與真菌培養(yǎng)物把混合物生成堆肥的速度間是否存在任何關(guān)系。若你認(rèn)為不存在任何關(guān)系，試說明理由。否則，試決定什么樣的比例會(huì)加速真菌培養(yǎng)物的活力。 除了按競(jìng)賽規(guī)則說明中規(guī)定的格式寫的技術(shù)報(bào)告外，請(qǐng)為餐廳經(jīng)理提供一頁(yè)長(zhǎng)的用非技術(shù)術(shù)語(yǔ)表示的實(shí)施建議。 作為數(shù)據(jù)，表 93Al 列出了分別存放在不同的箱子中用磅表示的混合物組成中各種原料的數(shù)量 ，以及把混合物喂給真菌培養(yǎng)物的日期以及完全生成堆肥的日期 (以表示生成堆肥所需的時(shí)間 )。 本題是由東華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的 Yves Nievegctlt 提供的，本題敘述的情況及數(shù)據(jù)來自華盛頓奶 Medical Lake 地區(qū)監(jiān)獄的餐廳。他還寫了一篇評(píng)論文章 The outstanding optimal postingpapers， The UMAP Journal， (1993)， ， 227228． MCM93 問題 B 倒煤臺(tái)的操作方案 AspenBoulder 煤礦公司經(jīng)營(yíng)一個(gè)包括一個(gè)單個(gè)的大型倒 煤臺(tái)在內(nèi)的裝煤設(shè)施。當(dāng)裝煤列車到達(dá)時(shí)，從倒煤臺(tái)往上裝煤。一列標(biāo)準(zhǔn)列車要用 3 小時(shí)裝滿，而倒煤臺(tái)的容量是一列半標(biāo)準(zhǔn)列車。每天，鐵道部門向這個(gè)裝煤設(shè)施發(fā)送三列標(biāo)準(zhǔn)列車。這些列車可在當(dāng)?shù)貢r(shí)間上午5 點(diǎn)到下午 8 點(diǎn)的任何時(shí)間內(nèi)到達(dá)。每列列車有三輛機(jī)車。如果一列車到達(dá)后因等待裝煤而停滯在那里 (即處于等待服務(wù)狀態(tài) )的話、鐵道部門要征收一種稱為滯期費(fèi)的特別費(fèi)用、每小時(shí)每輛機(jī)車 5000 美元。此外，每周星期四上午 11 點(diǎn)到下午 l 點(diǎn)之間有一列大容量列車到達(dá)。這種特殊的列車有五輛機(jī)車并能裝兩列標(biāo)準(zhǔn)列車的煤。一個(gè)裝煤工作班要用 6 個(gè)小時(shí)直接 從煤礦運(yùn)煤來把空的倒煤臺(tái)裝滿。這個(gè)工作班 (包括它用的設(shè)備 )的費(fèi)用是每小時(shí) 9000 美元。可以調(diào)用第二個(gè)工作班運(yùn)行一個(gè)附加的倒煤臺(tái)操作系統(tǒng)來提高裝煤速度，而費(fèi)用為每小時(shí)12020 美元，出于安全的原因，當(dāng)往倒煤臺(tái)裝煤時(shí)，不能往列車上裝煤。每當(dāng)由于往倒煤臺(tái)裝煤而中斷往列車上裝煤時(shí)，就要征收滯期費(fèi)。 煤礦公司的經(jīng)理部門要請(qǐng)教你們?nèi)绾螞Q定該倒煤臺(tái)的裝煤操作的午預(yù)期開支，你們的分析應(yīng)包括考慮以下的問題： ① 應(yīng)調(diào)用幾次第二個(gè)工作班 ? ② 預(yù)期的月滯期費(fèi)是多少 ? ③ 如果標(biāo)準(zhǔn)列車能按調(diào)度在確切時(shí)間到達(dá)，什么樣的日調(diào)度安排能 使裝煤費(fèi)用最少？ ④ 調(diào)用第三個(gè)費(fèi)用每小時(shí) 12020 美元的倒煤臺(tái)操作系統(tǒng)工作班，能否降低年操作費(fèi)用 ? ⑤ 該倒煤臺(tái)每天能否再裝第四輛標(biāo)準(zhǔn)列車的煤 ? 本題是由位于科羅拉多州 Golden 的科羅拉多礦業(yè)學(xué)院的 Genc Woolsey 根據(jù)他在懷俄明州一家煤礦公司做顧問中的問題建議的。位于紐約州的西點(diǎn)軍校的 ChriArney 和 Jack Robortson 據(jù)此形成了本問題。 MCM94 問題 A 住宅的保溫 HUP 公司正在考慮建造從單幢住宅到公寓樓大小不同的住宅。公司主要關(guān)心的是房主定期支付的費(fèi)用 特別是暖氣和冷氣的 費(fèi)用最少。建房地區(qū)位于全年溫度變化不大的溫帶地區(qū)。 通過特殊的建筑技術(shù) HUP 公司能不依靠對(duì)流 即不需要依靠開門開窗 來幫助調(diào)節(jié)住宅的溫度。這些住宅都是只有混凝土厚板地板為僅有基礎(chǔ)的單層住宅。你們被雇用為顧問來分析凝土厚板地板小的溫度變化，由此決定地板表面的平均溫度能否全年保持在指定的舒適范圍內(nèi)。如果可能的話，什么樣的尺寸和形狀能做到這點(diǎn)？ 第一部分地板溫度 由表 94A1 給 G66 每天溫度的變化范圍，試研究混凝土厚板中溫度的變化。假定最高溫度在中午達(dá)到，最低溫度在午夜達(dá)到。試決定能否在只考慮幅射的條件下 設(shè)計(jì)厚板使其表面的平均溫度保持在指定的舒適范圍內(nèi)。一開始，先假定熱是通過暴露在外的厚板的周邊傳入住宅的，而厚板的上、下表面是絕熱的。就這些假設(shè)是否恰當(dāng)、假設(shè)的敏感性作山評(píng)論。如果你們不能找到滿足表 94A1 條件的解，你們能作出滿足你們提出的表 94A1 的厚板的設(shè)計(jì)嗎 ? 第二部分建筑物溫度 試分析一開始所作假設(shè)的實(shí)用性，并將其推廣到分析單層住宅內(nèi)溫度的變化。住宅內(nèi)溫度能否保持在舒適范圍內(nèi)。 第三部分建筑費(fèi)用 考慮到建筑的各種限制及費(fèi)用，試提出一種考慮 HUP 公司關(guān)于降低甚至免去暖氣和冷氣費(fèi)用這一目標(biāo)的設(shè)計(jì) 。 MCM 94 問題 B 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的最短傳輸時(shí)間 在你們的公司里，各部門每天都要分享信息。這種信息包括前一天的銷售統(tǒng)計(jì)和當(dāng)前的生產(chǎn)指南。盡快公布這些信息是十分重要的。 假設(shè)一個(gè)通訊網(wǎng)絡(luò)被用來從一臺(tái)計(jì)算機(jī)向另一臺(tái)計(jì)算機(jī)傳輸數(shù)據(jù)組 (文件 )。作為例子，考慮下列圖 94B1 模型： 頂點(diǎn)從 表示計(jì)算機(jī)，邊 表示 (由邊的端點(diǎn)表示的計(jì)算機(jī)之間 )要傳輸?shù)奈募? 表示傳輸文件乙所需的時(shí)間， 表示計(jì)算機(jī) 同時(shí)能傳輸多少個(gè)文件的容量。文件傳輸包括占用有關(guān)計(jì)算機(jī)為傳輸該文件所需的全部時(shí)間。 ＝ 1 表示計(jì)算機(jī) 一次只能傳輸一個(gè)文件 。 我們有興趣的是以最優(yōu)的方式安排傳輸，即使得傳輸完所有的文件所用的總時(shí)間最小。這個(gè)最小總時(shí)間稱為接通時(shí)間 (makespan)。請(qǐng)為你們的公司考慮以下三種情形： 情形 A； 你們公司有 28 個(gè)部門。每個(gè)部門有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，在圖 94B2 中每合計(jì)算機(jī)用頂點(diǎn)表示。每天必須傳輸 27 個(gè)信息，在圖 94B2 中用邊來表示。對(duì)于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)所有的 x,y ＝ 1， ＝1 ．試找出該網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)安排以及接通時(shí)間。你們能向你們的主管人員證明你們對(duì)該網(wǎng)絡(luò)求得的接通時(shí)間是最小可能 (最優(yōu) )的嗎 ?敘述你們求解該問題的方法。你們的方法適用于一股情形嗎，即是否適用干了 ， 以及圖結(jié)構(gòu)都是任意的情形 ? 情形 B： 假設(shè)你們公司改變了傳輸要求?，F(xiàn)在你必須在同樣酌基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (見圖 94B2)上考慮不同類型和大小的文件。傳輸這些文件所需時(shí)間由表 94B1 中每條邊的了 項(xiàng)表出。對(duì)所有 y 仍有 ＝ 1．試對(duì)新網(wǎng)絡(luò)找出最優(yōu)安排和接通時(shí)間，你們能證明對(duì)新網(wǎng)絡(luò)而言你們求得的最小接通時(shí)間是最小可能的嗎 ?敘述你們求解該問題的方法。你們的方法適用于一般情形嗎 ?試對(duì)任何特異的或出乎意料的結(jié)果發(fā)表評(píng)論。 情形 C： 你們公司正在考慮擴(kuò)展業(yè)務(wù)。如果公司真的這樣做的話．每天有幾個(gè)新 文件 (邊 )要傳輸。這種業(yè)務(wù)擴(kuò)展還邊括計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的升級(jí)換代 .28 個(gè)部門中的某些部門將配備新的計(jì)算機(jī)使之每次能傳輸不止一個(gè)文件。所百這些變化都在下面的圖 94B3 以及表 91B2，表 94B3 中表明。你們能找到的最優(yōu)安排和接通時(shí)間是什么 ?你們能證明對(duì)該網(wǎng)絡(luò)而言這個(gè)接通時(shí)間是最小可能的嗎 ?敘述你們求解該問題的方法。試對(duì)任何特異的或者出乎意料的結(jié)果發(fā)表評(píng)論。 MCM95 問題 A 單一螺旋線 問題為向小型微生物工程公司提供幫助。設(shè)計(jì)出“實(shí)時(shí)”求一條螺旋線與空間中位于一般位置的平面 (見圖 95A1)所有交點(diǎn)的方法 ，證明方法的正確性并編程對(duì)算法進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)。 在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) (CAGD)中用類似程序可使工程人員觀察到他們所設(shè)計(jì)物體的截面，例如，飛機(jī)引擎，汽車緩沖裝置或者醫(yī)療器材等。而且工程設(shè)計(jì)人員也許還能顯示出諸如氣流、壓力、溫度以及用顏色或水平線的編碼。進(jìn)一步地，工程人員可以運(yùn) 過對(duì)整個(gè)物體的截面部分進(jìn)行快速掃描以得到物體的三維視覺及其運(yùn)動(dòng)、受壓和受熱時(shí)的反應(yīng)。為達(dá)此目的，所用的計(jì)算機(jī)程序必須以盡可能快的速度和盡可能高的精度找出所需觀察平面與所給物體每一部分的所有交點(diǎn)，一般所指的“問題求解”即為求此類點(diǎn)，但對(duì)特殊問題而言，特殊方法或許比通用方法更高效更準(zhǔn)確。特別地，通用的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)軟件或許會(huì)由于速度太慢而不能完成實(shí)時(shí)計(jì)算，或者軟件適用范圍雖然廣泛但并不適合公司所提出的醫(yī)療服務(wù)要求，基于上述考慮，公司提出下列問題。 問題 設(shè)計(jì)、判斷、編程并檢驗(yàn)給定平面與螺旋線在空間小任意位置和方向上的交點(diǎn)。例如，在化學(xué)或醫(yī)療器械中，一段螺旋線可表示為直立懸掛的彈簧或一小段綱管。 算法理論上的證明需要通過幾種不同的角度來進(jìn)行，例如，對(duì)算法進(jìn)行數(shù)學(xué)上的證明并用已知例子的編程進(jìn)行檢驗(yàn)，另外，從事醫(yī)療服務(wù)的當(dāng)事人進(jìn)行檢驗(yàn)和證實(shí)也是 必要的。 MCM95 題 B A1uacha Balaclava 學(xué)院 A1uacha Balac lava 學(xué)院聘用了一個(gè)新院長(zhǎng)。前任院長(zhǎng)是由于教員工資問題而被迫辭職的，因此，新院長(zhǎng)需要制定一個(gè)公平臺(tái)理的工資系統(tǒng)方案，以樹立其權(quán)威。作為第一步，她聘請(qǐng)你們隊(duì)作為顧問，設(shè)計(jì)一個(gè)能夠反映以下背景及原則的工資系統(tǒng)。 背景 教員共分四級(jí)：助教、講師、副教授、教授。博士畢業(yè)后任教的教員被聘為講師。在讀的博士生被聘為助教，并且當(dāng)畢業(yè)時(shí)自動(dòng)升為講師。副教授通常須滿七年后才能申報(bào)教授。級(jí)別晉升由院長(zhǎng)及一個(gè)教師委員會(huì)來決定，你們無 須考慮此問題。 教員每年發(fā) 10 個(gè)月工資：從 9 月到次年 6 月。每次晉級(jí)從 9 月起生效。能夠用于晉級(jí)增加工資的獎(jiǎng)金數(shù)日每年有所不同，通常需要到 3 月份才能知道確切數(shù)白。一個(gè)沒有從教經(jīng)歷的助教及講師的韌始工資分別是 27000 元及 32020 元。一個(gè)受聘教員在其他學(xué)校的教學(xué)經(jīng)歷同樣得到承認(rèn)。 原則 ①只要資金允許，所有教員助工資每年都應(yīng)增加。 ②教員應(yīng)能從晉級(jí)中獲得充分的利益。如果一名教員在盡可能短的時(shí)間內(nèi)得到晉升，其獲得的利益應(yīng)大致相當(dāng)于七年增加的工資。 ③如果一個(gè)教員都是正常晉級(jí) (在一個(gè)級(jí)別上工作七、八年 )，并且典有 25 年以上的教齡。他退休時(shí)的工資應(yīng)大致相當(dāng)于一個(gè)剛畢業(yè)的博士的工資的兩倍。 ④同一級(jí)別的教員中經(jīng)驗(yàn)較豐富的應(yīng)有較高的工資，但是這種差別應(yīng)隨著時(shí)間的報(bào)移而逐漸消失。換句話說，如果兩個(gè)教員級(jí)別相同，他們的工資應(yīng)隨著時(shí)間的推移而越來越接近。 方案 首先，設(shè)計(jì)一個(gè)不考慮物價(jià)增長(zhǎng)的新的工資系統(tǒng)，然后再考慮物價(jià)增長(zhǎng)的情形。本方案最終是要設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)移過程，將現(xiàn)有的工資系統(tǒng)過渡到你設(shè)計(jì)的系統(tǒng)中去，并且不能消減任何人的工資。現(xiàn)有教員的工資、級(jí)別及工作年限已列于表 95B1 中。 院長(zhǎng)要求得到一個(gè)詳盡酌工資系統(tǒng)方案，她將以此為據(jù)進(jìn) 行工資調(diào)整。同時(shí)，她還要求得到一份清晰、簡(jiǎn)短的執(zhí)行摘要，用于分發(fā)給教員及張貼公布。摘要應(yīng)當(dāng)概括出模型的輪廓，并介紹它的假設(shè)、優(yōu)缺點(diǎn)及預(yù)期結(jié)果。 MCM96 問題 A 噪音場(chǎng)中潛艇的探測(cè) 海洋中存在著背景噪音場(chǎng)，地展引起的攝動(dòng)，海面上航行的船只，以及生活在大海中的哺乳動(dòng)物都是具有不同頻率范圍的噪音源。我們要考慮如何利用這種背景噪音測(cè)定大的移動(dòng)目標(biāo)，例如海面下的潛艇。假定潛艇不產(chǎn)生影響測(cè)定的噪音，只利用測(cè)量背景噪音場(chǎng)的變化所得到的信息，研制一種能夠探測(cè)出移動(dòng)潛艇的存在，并測(cè)出它的速度、尺寸及航行方向酌方法。從一 個(gè)固定的頻率和振幅的噪音著手進(jìn)行。 MCM96 問題 B 競(jìng)賽評(píng)判問題 在確定像數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽這種形式的比賽的優(yōu)勝者時(shí)，常常要評(píng)閱大量酌答卷。譬如說，有 P＝ 100 份答卷，一個(gè)由 J 位評(píng)團(tuán)人組成的小組來完成評(píng)閱任務(wù)，基于競(jìng)賽資金對(duì)于能夠聘請(qǐng)的評(píng)閱人數(shù)量和評(píng)閱時(shí)間的限制，如果 P＝ l00；通常取 J＝ 8．理想的情況是每個(gè)評(píng)閱人看所有的答卷，并將它們一一排序，但這種方法工作量太大。另一種方法是進(jìn)行一系列的篩選，在一次篩選中每個(gè)評(píng)閱人只看一定數(shù)量的答卷，并給出分?jǐn)?shù)。為了減少所看答卷的數(shù)量，考慮如下的篩選模式：如果答卷是被排 序的，則在每個(gè)評(píng)闖人給出的排序中排在最下面的 30％答卷被篩除；如果答卷被打分 (譬如說從 1 分到 10 分 )，則某個(gè)截止分?jǐn)?shù)線以下的答卷被篩除。這樣，通過篩選的答卷重新放在一起返回給評(píng)閱小組，重復(fù)上述過程。人們關(guān)注的是，每個(gè)評(píng)閱人看的答卷總數(shù)要顯著地小于 P．評(píng)閱過程直到剩下 W 份答卷時(shí)停止，這些就是優(yōu)勝者。當(dāng) J＝ 100 時(shí)通常取 W＝ 3 你的任務(wù)是利用排序、打分及其它方法的組合，確定一種篩迫模式，按照這種模式，最后選中的 v 份答卷只能來自“最好的” 2W 份答卷 (所渭“最好的”是指，我們假定存在著一種評(píng)閱人一致贊同的答卷的絕 對(duì)排序 )。例如，用你給出的方法得到的最后 3 份答卷將全部包括在“最好的” 6 份答卷中。在所有滿足上述要求的方法中，希望位能給出使每個(gè)坪閱人所看答卷份數(shù)最少的一種方法。 注意在打分時(shí)存在系統(tǒng)偏差的可能。例如，對(duì)于一批答卷，一位評(píng)閱人平均給 70 分，而