相似三角形及其應用(編輯修改稿)
2025-05-27 03:04 本頁面
【文章內容簡介】 ＝5 － 12. 故矩形 DCEF 為黃金矩形． ? 類型之三 相似三角形的性質及其應用 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 利用相似三角形性質求角的度數或線段的長度； 2 . 利用相似三角形性質探求比值關系． 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 201 3 北京 ] 如圖 22 － 2 ， △ ABC ，是一張銳角三角形的硬紙片， AD 是邊 BC 上的高， BC ＝ 40 c m ， AD ＝ 30 cm ，從這張硬紙片上剪下一個長 HG 是寬 HE 的 2 倍的矩形 E F GH ，使它的一邊EF 在 BC 上，頂點 G 、 H 分別在 AC ， AB 上， AD 與 HG 的交點為 M . (1) 求證：AMAD＝HGBC； (2) 求這個矩形 E F GH 的周長． 圖 22 － 2 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 證明 △ A HG ∽△ ABC ，根據相似三角形對應高的比等于相似比，證明結論 ． ( 2 ) 設 HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ，利用第一問中的結論求解 ． 解： (1) 證明： ∵ 四邊形 EFGH 為矩形， ∴ EF ∥ GH . ∴∠ AHG ＝ ∠ ABC . 又 ∵∠ HA G ＝ ∠ BAC ， ∴△ AHG ∽△ ABC ， ∴ AMAD＝HGBC. (2) 由 (1) 得AMAD＝HGBC. 設 HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ， AM ＝ AD －DM ＝ AD － HE ＝ 30 － x . 可得30 － x30＝2 x40，解得 x ＝ 12 ， 2 x ＝ 24. 所以矩形 EFGH 的周長為 2 (12 ＋ 24) ＝ 72( cm ) ． ? 類型之四 三角形相似的判定方法及其應用 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1 ． 利用兩個角判定三角形相似； 2 ． 利用兩邊及夾角判定三角形相似； 3 ． 利用三邊判定三角形相似 . 第 22講 ┃ 歸類示例 如圖 22 － 3 ，在矩形 A B C D 中， AB ＝ 6 ， AD ＝ 12 ，點 E在 AD 邊上，且 AE ＝ 8 ， EF ⊥ BE 交 CD 于 F . ( 1 ) 求證： △ ABE ∽△ D E F ； ( 2 ) 求 EF 的長． 圖 22 － 3 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1) 由四邊形 ABCD 是矩形，易得 ∠ A ＝ ∠ D ＝ 90 176。 ，又由 EF ⊥ BE ，利用同角的余角相等，即可得 ∠ DE F ＝ ∠ ABE ，則可證得 △ ABE ∽△ DE F ； ( 2) 由 ( 1) △ ABE ∽△ DE F ，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由 AB ＝ 6 ， AD ＝ 12 ， AE ＝ 8 ，利用勾股定理求得 BE 的長，由 DE ＝ AD － AE ，求得 DE 的長，繼而求得EF 的長． 第 22講 ┃ 歸類示例 解： ( 1) 證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝ ∠ D ＝ 90 176。 ， ∴∠ AEB ＋ ∠ ABE ＝ 90 176。 . ∵ EF ⊥ BE ， ∴∠ AEB ＋ ∠ DE F ＝ 90 176。 ， ∴∠ DE F ＝ ∠ ABE ， ∴△ ABE ∽△ DE F ； ( 2) ∵△ ABE ∽△ DE F ， ∴
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