【文章內(nèi)容簡介】 原理簡述 ? 泛函 ? 歐拉方程 ? 哈密頓原理 ? 最小作用原理 ? 軌跡相似性原理 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 變分原理簡述 1. 經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點動力學(xué)問題，除了用上面介紹的牛頓方程、拉格朗日方程表示外，還可以采用變分原理描述 。 2. 描述簡潔，具有高度概括性； 3. 變分原理的應(yīng)用揭示了帶電粒子運動的規(guī)律與光線光學(xué)的運動類似性，在此基礎(chǔ)上建立和發(fā)展了電子光學(xué)。 。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 )( xfy ?我們知道函數(shù)的定義，即，假如一個連續(xù)變化的函數(shù)表示為： x yxx))(,( xfx?? ?? y yx那么 稱為自變量 是自變量 的函數(shù)，如果一個 和 f(x) 的關(guān)系為， 成立，則稱 為泛函， 與 的關(guān)系類似于 與 的關(guān)系，因此也 函數(shù) v與 稱為函數(shù)的函數(shù)。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 )()( xxfy ???? ? 泛函 泛函求極值 同函數(shù)一樣，泛函的穩(wěn)定值可以用極值描述，即微分等于 0時的值。 發(fā)生一微小變化，即擾動時， 如果函數(shù) 可以表示為 其中 ξ(x) 為任意給定函數(shù)， ε為數(shù)值參數(shù)。參量 ε的變換意味著 函數(shù) y的連續(xù)變化。當 ε=0時，函數(shù) y值為 f(x)即 y0。 )(xf 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 泛函求極值 212( , ) ( , ) 2x f x f?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?當 ε變化時，顯然泛函 v也隨著變化。 01 ??????dd 22 20 dd??? ???1?? ? ??? ??1 ?222??式中 因此 為 的一階微分形式，用 表示，稱為泛函 的一階變分，稱為泛函的極值， 稱為二階變分，如此類推 。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 在物理問題中一個常用的泛函表示形式是下面的定積分形式的泛函，這個積分形式的泛函極值問題，既變分問題所描述的是能量問題。假設(shè)一個積分形式的泛函表示為： 式中 y是 x的連續(xù)函數(shù)，且在該區(qū)間具有一階、二階導(dǎo)數(shù) 存在。 dxyyxFxx? ?? 10 ),(?? )(x?現(xiàn)在研究泛函 的極值問題，由于當存在函數(shù) 時， 函數(shù) y和一階微分可以分別表示為： )()( xxfy ????)()( xxfy ?? ????? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 因此，泛函 v也是 ε 的函數(shù)，泛函取極值可以表示為 0)( 0 ?????dd 0???， 即 y0xx? 0yy?1xx? 1yy?0)()( 10 ?? xx ??函數(shù) 的兩個端點值分別為 處， 處， 應(yīng)有 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 這時泛函 V的極值可以表示為 dxyyxFdddd xx 0100),( ????? ?? ???0)( 010 ?? ???????? ? dxd ydyFddyyFxx ???)(0xddy ?????)(0xdyd ???????0)( 0100?? ???????? ??dxyFyFdd xx ??????根據(jù)端點的初始條件，上式中 代入方程中，可得： 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 泛函 將上式第二項做分部積分 ? ????????? ???? 101010 )(xxxxxx dxyFdxdyFdxyF ???0)()( 01 ?? xx ??0)(10 ?? ?????? dxyFdxdyFxx ?將兩個端點值帶入，由于 因此上式的第一項為零，極值可以表示為： 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 歐拉方程 0??????? yFdxdyF對于任意函數(shù) ，上式成立的必要條件是 ?該式稱為歐拉方程，變分學(xué)的一個基本方程。泛函極值的必要條件 是積分函數(shù)要滿足歐拉方程，即歐拉方程成立，也就是說，上述 定積分泛函的極值問題等價于歐拉方程。 ?對于一個多變量泛函，可以用多個歐拉方程分量表示，而歐拉方程 等價于牛頓運動方程，即變分問題與牛頓運動方程是等價的。 )(x? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 哈密頓原理 將積分函數(shù) F換成拉格朗日函數(shù)，對應(yīng)的變分問題為： 101 2 3 1 2 30 1 1 2 3( , , , , , , ) 0, , , ,ttL t q q q q q q dtt t t t q q q? ????當 時 取 固 定 值對應(yīng)的歐拉方程為： 112233000d F Fd t q qd F Fd t q qd F Fd t q q?????????????????? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 哈密頓原理 ? 將拉格朗日函數(shù)帶入到變分式中，即得到電磁場中粒子運動的哈密頓原理： 0)2(1020 ?? ??? dtAeeUmtt ??? ??? 顯然哈密頓原理中的積分函數(shù)是 能量 形式，滿足哈密頓原理，表示在各種運動形式中，應(yīng)滿足能量最小。 ? 哈密頓原理中的積分變量為 時間函數(shù) ，它表示粒子運動與時間坐標的關(guān)系，因此它對應(yīng)的是運動方程，而對電子運動的規(guī)律研究，我們更感興趣的是粒子運動的軌跡，因此希望泛函積分中的時間坐標換為空間的坐標。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 最小作用原理 ? 根據(jù)哈密頓原理，帶電粒子在電磁場中的運動可以用下式表示： ? 21tt Ld t?式中 L T U M? ? ? 為拉格朗日函數(shù) iiLpq???iii eApP ??可以定義廣義動量 P為 (分量 pi,i=1,2,3) 因此，廣義動量 P也可以表示為 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 最小作用原理 r??20p r m e A??? ? ? ??????? eUrmLrpW 221 ??0)(10 ?? ?? dtLrptt ????用速度矢量 總能量為 點乘上式兩邊，可以得到 常數(shù) 因此，由于上式等于常數(shù)，滿足變分為零的條件，即可以表示為： 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 最小作用原理 01010 ???? ? tttt L d tdtrp ?? ???010 ??tt Ldt?rdt ds?010 010 ? ???? ? pptt dsspdtrp ????? ??100 00( ) 0 p = m v = 2e m U *pp p e A s ds? ? ? ??而第一式 此式表示 最小作用原理 。 可以寫成兩個變分的和 而第二式由哈密頓原理可知，為零 ，因此，上式可以寫為 將廣義動量帶入 電子光學(xué)第二章 (Kang) 最小作用原理 ? 最小作用原理 最小作用原理中的被積函數(shù)為動量，積分元是弧長。即，最小作用原理是將哈密頓 原理的一個能量對時間的積分求極值問題，變換成一個動量對弧長積分的求極值 問題，是完全等價的。 電子