【正文】 電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 西安交通大學(xué) 康永鋒 電子光學(xué) 第二章 (Kang) 提綱 ? 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 拉格朗日方程 ? 最小作用原理 ? 折射率與軌跡方程 ? 電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì) ? 引言 電子光學(xué)第二章 (Kang) 引言 ),( ?if rr ?? ? 運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ? 電子光學(xué)的主要研究對(duì)象是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（ 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 軌跡 ） ? 當(dāng)我們忽略了帶電粒子之間相互的電磁作用時(shí)，就可以將帶電粒子運(yùn)動(dòng)看作為 單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)。因此可以利用單個(gè)粒子的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，即 牛頓型運(yùn)動(dòng) 方程求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律。曲坐標(biāo)系的拉 格朗日方程 ，以及 相對(duì)論效應(yīng) 。 ? 變分原理（ 哈密頓原理 和 最小作用原理 ）以及與光線光學(xué)的相似性。 ? 波動(dòng)性原理；自由空間以及大尺度外電磁場(chǎng)，不考慮量子力學(xué)；只考慮 衍射效應(yīng) 。 電子光學(xué) 第二章 (Kang) 提綱 ? 引言 ? 拉格朗日方程 ? 最小作用原理 ? 折射率與軌跡方程 ? 電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì) ? 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ),( ?if rr ?? ? 洛侖茲力 ? 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 加速電位和能量守恒定理 ? 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ),( ?if rr ?? ? 洛侖茲力 eE? B?具有電荷為 ，運(yùn)動(dòng)速度為 電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為 和 的電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，將受到羅倫茲力的作用，可以表示為 : 的電子在 BeEeF ???? ??? ? (21) ? 上式有兩部分，第一部分為電場(chǎng)力，它對(duì)電子做功，即改變電子的能量，產(chǎn)生電子的加速和減速運(yùn)動(dòng)； ? 第二部分為磁場(chǎng)力，對(duì)電子不做功，它不能改變電子的能量，只改變運(yùn)動(dòng)方向。 ? 利用該式可以描述電子的運(yùn)動(dòng)。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ),( ?if rr ?? ? 牛頓方程 電子的動(dòng)量滿足牛頓方程： (22) ? 非相對(duì)論情形（電子速度遠(yuǎn)小于光速） BeEedtpd ??????? ?BeEedtdmdtpd ????? ???? ??0? 高能粒子 201 ?????? mp c???BeEemdtd ???????? ??? )1( 20 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ),( ?if rr ?? ? 加速電位和能量守恒定理 由于磁力是不做功的，考慮帶電粒子能量的變化僅僅由電場(chǎng)決定，用速度點(diǎn)乘牛頓方程的兩端右端項(xiàng)的第二項(xiàng)磁場(chǎng)項(xiàng)等于零，可以得到方程： (23) ? 等式左邊變換為： ???? ???????? Eemdtd )1( 20220220002 2 3 2 2 3 22211( ) [ ( 1 ) ] ( )( 1 ) 2 ( 1 )11d v d vmvm m cd v dd t d t mc d t d t? ? ? ? ? ??????? ? ?????? 等式右邊變換為 ()d r u d x u d y u d z d Ue E e U e ed t x d t y d t z d t d t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 加速電位和能量守恒定理 能量守恒 (24) 令粒子速度為零時(shí)，電位為零。定義 加速電位 U* 動(dòng)能、勢(shì)能和靜止能量守恒；粒子在任一點(diǎn)動(dòng)能完全由加速電位決定。 粒子的運(yùn)動(dòng)速度 0)1( 220 ??? eUcmdtd?2 20 *021mc e U m c? ???0202 ( 1 ) 1 2 2e UUm eU m c?????? ? ????? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 )()21( 200??????eUdtdmdtddtdm左端項(xiàng)右端項(xiàng) ??? ? 加速電位和能量守恒定理 能量守恒（低速） 同理，用速度點(diǎn)積牛頓方程兩端，可得： 可得 0)21( 20 ?? eUmdtd ? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 加速電位和能量守恒定理 能量守恒（低速） (24) 220 0 0 011( ) ( )22m m e U U??? ? ? ?說明，帶電粒子的能量為恒定值，即動(dòng)能與位能的和等于常數(shù)。因此可以建立電子運(yùn)動(dòng)速度與電位之間的關(guān)系。 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 加速電位和能量守恒定理 能量守恒（低速） (25) 引入加速電位 U* ?上式表示了在低速情況下，加速電位與電子速度之間的關(guān)系，其中電位表示的是規(guī)范化電位，即考慮電子動(dòng)能為零作為參考點(diǎn)。 ?用它可以計(jì)算電子光學(xué)儀器的電子能量。在高速情況下，需考慮相對(duì)論。 ??? Ume02? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)方程的直角坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程為： )(0 yzx BzByeeExm ???? ???)(0 zxy BxBzeeEym ???? ???)(0 xyz ByBxeeEzm ???? ??? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)方程的圓柱坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程可有直角坐標(biāo)變換而來； 利用坐標(biāo)變換，可建立直角坐標(biāo) x和 y與圓柱坐標(biāo) r和 ψ之間的關(guān)系為： ?c o srx ??sinry ?上面的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間求微分有： ??????? c o ss i ns i n2c o s 2????????? rrrrx ??????????? s i nc o sc o s2s i n 2????????? rrrry ???? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 ???? c o sc o ss i nc o s 00 ymxmFFF yxr ???? ????????? c o ss i nc o ss i n 00 ymxmFFF yx ???? ??????zF將而 r方向的力表示為 x和 y方向的力的投影，可以得到分量形式 ： 不變 )()]c os( s i n)c os( s i n[)s i ns i nc oss i nc os2s i n()c osc oss i nc oss i n2c os(2022222022202220????????????????????????????????????????????rrmrrmrrrrmrrrrmF r?????????????? 電子光學(xué)第二章 (Kang) 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 ? 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 將而 r方向的力表示為 x和 y方向的力的投影，可以得到分量形式 ： ????? c o ss i nc o ss i n 00 ymxmFFF yx ???? ??????)()2()s i n( c o s)s i n( c o s2[)c o ss i nc o sc o s2c o ss i n()s i nc o ss i ns i n2s