旋轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(編輯修改稿)
2025-05-26 12:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 跡的定義 在電子光學(xué)要研究和解決的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，往往更為關(guān)心的是軸附近電子的運(yùn)動(dòng)，即離軸很近，斜率很小的電子軌跡，這部分帶電粒子具有聚焦成像的特性，研究這部分軌跡的特性稱為旁軸光學(xué)或近軸光學(xué)。 （ 2）旁軸運(yùn)動(dòng)方程 旁軸軌跡方程同樣可以從運(yùn)動(dòng)方程得到。 3． 2旁軸軌跡方程 直角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為： )( yBzBxUx zy ???? ????? ?? )( zBxByUy xz ???? ????? ??在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱電磁場(chǎng)中，已知，表示旁軸區(qū)的電位和 磁感應(yīng)強(qiáng)度的近似表達(dá)式為： )(4)(2zrzU ?? ????xzBB x )(21 ??? yzBB y )(21 ???3． 2旁軸軌跡方程 將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸運(yùn)動(dòng) 方程為： ))()(21()(2 yzByzzBxzx ???? ??????? ???))()(21()(2 xzBxzzByzy ???? ??????? ???如果采用一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)角速度和角度為： （ 3）表示子午面的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) ）zB (2?? ?? ?? tt dtzB0 )(2??3． 2旁軸軌跡方程 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對(duì)時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為 ?? s inc o s yxX ???? c o ss in yxY ????? si nc o s yxYX ???? ?????? c o ssi n yxXY ???? ????3． 2旁軸軌跡方程 對(duì)時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù) ????? s i nc o s2 2 yxYXYX ??????????? ?????????? c o ss i n2 2 yxXYXY ??????????? ??????（ 4）軌跡方程 ?cos將上面的運(yùn)動(dòng)方程第一式乘以 ????? co s)])()(21()(2[co s yzByzzBxzx ???? ???????然后相加， 左端項(xiàng)相加為 ????? s i nc o s2 2 yxYXYX ??????????? ?????第二式乘以 ?sin?????s i n)])()(21()(2[s i nxzBxzzByzy???????????3． 2旁軸軌跡方程 3． 2旁軸軌跡方程 ( ) ( c o s sin )21( ) ( c o s sin )2( ) ( c o s sin )z x yB z z y xB z y x?? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ???右端相加為 再考慮將下式代入 ?? s i nc o s yxX ?? ?? c o ss i n yxY ?????? si nc o s yxYX ???? ??? ??? c o ssi n yxXY ???? ????代入得到直角坐標(biāo)系的方程為： YzzBYzBXzBXX ))(2())(2())((2 2 ????????? ??????????? ?????????3． 2旁軸軌跡方程 又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件 )(2 zB?? ?? zzB ??? )(2 ?? ??帶入上面方程式中，可得 ))(2(2 2 XzBX ??? ??????? ))(2(2 YzBY ??? ???????0)2(2 2 ????? xBx ????? 0)2(2 2 ????? yBy ?????既為旁軸運(yùn)動(dòng)方程，再利用坐標(biāo)的變換 ()dx z zxdz ?? ()dy z zydz ??3． 2旁軸軌跡方程 又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于 z? 的表達(dá)形式 eUyxzmyxzm ????????? )1(2)(2 22202220 ????x? y?考慮當(dāng) 1， 1時(shí)，上式去掉高階項(xiàng)，可以得到 ?0022meUmez ?????帶入運(yùn)動(dòng)方程式中，可得旁軸軌跡方程 0)2(4 1)( 2 ?????? xBxdzd ???? 0)2(4 1)( 2 ?????? yBydzd ????)()(8 00 zdzzBzz ???? ???3． 2旁軸軌跡方程 可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為： 0)2(4 1)( 2 ?????? ?????? Bdzd0)2(4 12 2 ?????????? ???????? B在純電場(chǎng)中，旁軸軌跡方程為： 0412 ????????? ???????在純磁場(chǎng)中，旁軸軌跡方程為： 08 2 ???? ??? B3． 2旁軸軌跡方程 旋轉(zhuǎn)角速度 20 rrAme????對(duì)于旁軸區(qū) 2)(21 rzBrA ?因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表示為： )(2)(20zBzBme ?? ????由于上述的軌跡方程包含了 ??會(huì)帶來運(yùn)算的誤差，可以去掉一次項(xiàng)，提高計(jì)算精度。 的一階微分，因此 采用分離變量，令 )()()( zPzRz ???3． 2旁軸軌跡方程 )()()()()( zPzRzPzRz ????????帶入旁軸軌跡方程中，可得： 0]2)84[()22(2?????????????????? RPPPBRPPRP ????????令其中的一次項(xiàng)為 0，即 022 ???? PP ??解一次微分方程為 ： ?ln41ln ??P 41?? ?PPRPRPR ???????????????? 2?3． 2旁軸軌跡方程 因此，代入分離變量式中可得： )()()( 41 zzRz ?? ??將其帶入軌跡方程中，得到 0)()( ???? RzWzR]8)(163[)(22???? BzW ???上式為簡(jiǎn)正的旁軸軌跡方程，它的計(jì)算精度高于普遍 的軌跡方程。 3． 3理想聚焦系統(tǒng) （ 1）旁軸軌跡解的形式 ? 旁軸軌跡方程是一個(gè)二階齊次線形常微分方程，假設(shè)它有兩個(gè)線性無關(guān)的特解 ， )(zg )(zh分別為 和 微分方程通解，一般可以表示為兩個(gè)特解的線性組合，即為： ，則可以得到 )()()( 21 zhczgczx ??)()()( 43 zhczgczy ??假設(shè)有一點(diǎn) ),( 0000 zyxP應(yīng)該滿足軌跡方程的解，將初始條件代入方程解的形式中， 軌跡的初始點(diǎn)， 帶電粒子通過此初始點(diǎn)時(shí) 可以表示為： 3． 2旁軸軌跡方程 002022 )()()( xzhczgczx ???004030 )()()( yzhczgczy ???根據(jù)上述的初始條件，
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