【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 流線也是一些圓，圓心都在 y 軸上，且都過(guò)源點(diǎn) O： 兩個(gè)分速的表達(dá)式是： 合速度為： 2 2 222 ( )y C x y c cxy ?? ? ??222 2 2 22 2 2 2( ) c o s 2()2 sin 2()M y xuMx x y rM x yvMy x y r??????? ? ? ????? ? ? ? ???222rMvuV ???Folie32 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 要注意，偶極子是源匯無(wú)限靠近的極限情況，它是 有軸線方向 的，原來(lái)的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是它的軸線。前面表示的偶極子是以 x 軸為軸線的，其正向?yàn)檩S線上的流線方向，前面的偶極子是指向負(fù) x 方向的。如果偶極子軸線和 x 軸成 θ 角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)和對(duì)應(yīng)流函數(shù)分別為： ? ?2 2 2 2c o s s i n ( c o s s i n )MMx y y xx y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???2222( ) c o s ( ) s in( ) ( )( ) c o s ( ) s in( ) ( )xyMxyyxMxy? ? ? ????? ? ? ????? ? ??? ? ?? ? ???? ? ?如果偶極子位于（ ξ， η），軸線和 x 軸成 θ 角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為： Folie33 2022年版本 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 點(diǎn)渦 點(diǎn)渦是位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦的流動(dòng)，流線是一些同心圓。流速只有 Vθ，而沒(méi)有 Vr 。 式中的 Γ 是個(gè)常數(shù)，稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，逆時(shí)針 方向?yàn)檎?。分? Vθ 和離中心點(diǎn)的距離 r 成反比 ，指向逆時(shí)針?lè)较?。其位函?shù)和流函數(shù)分別為 l n22 r? ? ?????? ? ?1( 2 ) 2v r v r??? ??? ? ?等勢(shì)線是射線，流線是圓 Folie34 由幾何條件可立刻寫出 u 、 v 分量： ?? sinVu ??2222c o s yxxrxrVv ?????????? x y u v Vθ θ 位函數(shù)可由上式代入 然后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系： ux ????rVr ???? 2?????積分后得： xya r ct g???? 22????顯然等位線 Φ =C是 一系列射線 ryr?2???222 yxy?????怎么求位函數(shù)？ Folie35 求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西－黎曼關(guān)系： 2Vr r r?????? ? ?? ? ? ? ? ???積分得： )l n (4ln2 22 yxr ??????? ???顯然流線 ψ = C 是一系列同心圓，可見(jiàn)點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對(duì)調(diào)了一下（上述負(fù)號(hào)只是代表渦轉(zhuǎn)向）。 怎么求流函數(shù)？ Folie36 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 如點(diǎn)渦位置不在原點(diǎn)，而在（ ξ， η），則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)為： 沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)，環(huán)量值都是 Γ ，但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量等于零。 ? ? ? ?22 l n22 ya r c t g x yx ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????????????????????)(222222 2233112211IJGICDEFCDABIJGNEFCDAB rrrrrrrrrr?????????????????Folie37 2022年版本 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 這種點(diǎn)渦其實(shí)應(yīng)該看作是一根在 z 方向無(wú)限長(zhǎng)的直渦線。渦本來(lái)是有旋流動(dòng)，但像這樣一根單獨(dú)的渦線所產(chǎn)生的流場(chǎng)，除真正的渦心那一條線（在平面里就是一點(diǎn)）之外，其余的地方仍是無(wú)旋流動(dòng)。當(dāng) r →0 時(shí)，速度趨近于無(wú)窮大，相應(yīng)的壓強(qiáng)也趨于負(fù)無(wú)限大，這是不現(xiàn)實(shí)的。按這個(gè)速度分布規(guī)律，速度在半徑方向的變化率是： * 當(dāng) r 很小之后，這個(gè)變化率極大，這時(shí)粘性力必然要 起作用（粘性力與速度的法向變化率成正比）。結(jié)果， 實(shí)際渦總是有一個(gè)核，核內(nèi)流體的不是與 r 成反比，而 是與 r 成正比。但核外的流速是與 r 成反比的，如圖所 示。核內(nèi)是有旋流，核外是無(wú)旋流。這個(gè)核的尺寸究竟 有多大？它是因流體的粘性大小及渦強(qiáng)大小而不同的 。 20 12 rrv?? ?????Folie38 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 一般地說(shuō) ， 這個(gè)尺寸不大 ， 我們作外部流場(chǎng)的計(jì)算時(shí) ， 可以不管它 ， 把它看作很微小就行了 。 這里要說(shuō)明的一個(gè)事實(shí)是 ， 渦對(duì)于外部流場(chǎng)是產(chǎn)生誘導(dǎo)速度的 （ 即擾動(dòng) ） ， 其值與至中心的距離成反比 ， 但對(duì)它自己的核心是沒(méi)有誘導(dǎo)速度的 。 r Vθ＝ ω r Vθ＝ k / r r0 p Folie39 bxay ???byax ???rQ ln2 ?? ?點(diǎn)源： ??? 2Q?22 yxxM???偶極子： 22yMxy? ?? ?直勻流： ??? 2??點(diǎn)渦： rln2 ?? ???x y 基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)： a b Folie40 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 1 、直勻流加點(diǎn)源 在一個(gè)平行于 x 軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為 Q的源，把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是： 兩個(gè)分速是： 在 x 軸線上有一個(gè)合速為零的點(diǎn) ， 即駐點(diǎn) A。 ? ?22ln4ln2),( yxQxVrQxVyx ????? ?? ???2 2 2 2 22Q x Q yu V vx x y y x y???????? ? ? ? ?? ? ? ?，F(xiàn)olie41 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 令 uA=0, vA=0 即得駐點(diǎn) xA 坐標(biāo)為： 02AAQxyV??? ? ?Folie42 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 流動(dòng)的流函數(shù)是： 對(duì)于零流線 是一條通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的水平線。 對(duì)于 的流線方程為： 得到解為： 說(shuō)明是通過(guò)駐點(diǎn)的一條水平流線。 對(duì)于非水平流線，半徑 r： 如對(duì)于 相應(yīng)的半徑 r 為： 0 0????，???? 2s in QrV ?? ?2Q??22s inrV ??? ?????? ?? 2Q)1(2s in1 ??? ???QVr3 22??????，1 ( 1 ) s i n 2 4 2EFQ Q QrDV V V???? ? ?? ? ? ?，y Folie43 流線 BAB′的形狀可以根據(jù)流函數(shù)ψ=c 畫出來(lái)，也可以從流量關(guān)系推算出來(lái)。由流函數(shù)表達(dá)： CQyV ??? ? ??? 2由駐點(diǎn)坐標(biāo)（ y=0,θ=π) 定常數(shù) c，得 c＝ Q / 2 ，從而得流線 BAB′的方程為： )(2 ??? ???VQy用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域?yàn)?[π/2,π/2]： )32()41(像限、像限、xya rc t gxya rc t g??????Folie44 )41()(2 象限、xya r c t gVQy ?????該流線與 y 軸交于 處，當(dāng) ?? VQ4????? VQyx 2時(shí)，即流線在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于寬度為 的直線。 ??? VQyD 2)32()(2 象限、xyar c t gVQy?? ?從物理上這個(gè)結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在圍線中，由速度分布知： 0, ????? ? vVux 時(shí)，而源的流量為 Q，以速度 V∞ 流過(guò)時(shí)將占據(jù)寬度 D=Q / V∞ Folie45 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 全部流線譜中，經(jīng)過(guò)駐點(diǎn) A的流線 BAB′是一條特殊的流線， 。它像一道圍墻一樣，把流場(chǎng)劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動(dòng)，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動(dòng)。流線是氣流不可逾越的線。一個(gè)物體放在氣流里，它的邊界也是氣流不可逾越的界線，氣流只能與物體邊界相切著流過(guò)去。所以，我們可以把外部流動(dòng)看作是在直勻流中放了一個(gè) BAB′那樣形狀的物體所造成的流動(dòng)。不過(guò)這個(gè)物體后面是不封口的，稱半無(wú)限體。這個(gè)半無(wú)限體在 +x 無(wú)限遠(yuǎn)處，其寬度（ y 向尺寸）趨向一個(gè)漸近值 D 為： ??VQD2Q??Folie46 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 通常將壓強(qiáng)表為無(wú)量綱的 壓強(qiáng)系數(shù) Cp ，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來(lái)流靜壓再除以來(lái)流的動(dòng)壓頭。 不可壓無(wú)粘流時(shí)： 沿這個(gè)半無(wú)限體的外表面，壓強(qiáng)系數(shù)是： 2s in2s in?????? ????? ?? ??? ?pC? ?2 2 22( ) 1222pppp p V u v CV????????? ? ? ? ?221??? VVC pwhy? 2222