【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ________.解： ① ②解（1）（2）聯(lián)立方程有：.二、 計(jì)算題1. 一汽車沿一街道行駛，要經(jīng)過(guò)三個(gè)有信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠信號(hào)顯示的時(shí)間相等，求此汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù)X的概率分布。解： 設(shè) ={第 個(gè)路口遇到紅燈}，=1,2,3,則P()=, X的所有取值為0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()= P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)= =2. 一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，問(wèn)在同一時(shí)刻（1） 恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？解：設(shè)對(duì)每個(gè)設(shè)備的觀察為一次試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)為5且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立。于是X～b(5,),分布律為 P{X=k}=C5k()k()5k，k=0，1，2，3，4，5（1） P{X=2}=C52（）3=（2） P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =C53??+C54??+C55?=（3） P{X≤3}=1P{X=4}P{X=5} =1C54???=（4） P{X≥1}=1P{X1}=1P{X=0} =1C50??（）5=3. ，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。解：設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X，則X~b(n,)，設(shè)B為指示燈發(fā)出信號(hào)。（1） n=5，則P(B)=P{X≥3}=k=35C5k()k()5k=或 P(B)=1k=02P{X=k}=1()()4C52()2()3=（2）n=7， 則P(B)=k=37P{X=k}=k=37C7k()k()7k=或 P(B)=1k=02P{X=k}=1()()2()5=4. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 試求（1）X的分布函數(shù)； （2） 。 解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以可的X的分布函數(shù)為（2） 5. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 試求（1） 系數(shù)A； （2） X落在區(qū)間（0，p/4）的概率。解：（1）因?yàn)? 所以（2） 所求概率6. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 試求（1）系數(shù)A； （2） X落在區(qū)間（，）內(nèi)的概率； （3） X的密度函數(shù)。解：（1） 由的連續(xù)性，有，由此得（2） （3） X的密度函數(shù)為7. 對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（按百分制計(jì)）近似服從正態(tài)分布，%，求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。解：設(shè)X表示考生的外語(yǔ)成績(jī)，且X～N(72,),則P(X＞96)=1P(X≤96)=1()=,即 ()=,查表得=2，則 =12，即且X～N(72,144)，故P(60≤X≤84)=P(1≤≤1)=2(1)1=8. 設(shè)測(cè)量誤差X～N(0，100)，并用Possion分布求其近似值（）。解：由于X～N(0，100)，則P(|X|＞)=1 P(|X|≤)=2[1()]=～B(100,),故P(Y≥3)=1 P(Y≤2)=1設(shè)l=np=100=5，且Y~P(5),則P(Y≥3)=1 P(Y≤2)=1=9. 設(shè)X ~ N (3,22)，(1)求Ｐ{2X≤5}，P{－4X≤10}，P{丨X丨2},P{X 3}。（2）確定c使得P{Xc}=P{X≤c}, (3) 設(shè)d滿足P{Xd}≥，問(wèn)d至多為多少？要點(diǎn)： 本題及接下來(lái)的四道題要查表計(jì)算：一般正態(tài)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表，其理論根據(jù)：若X~N(,2),則～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（，2）,求P{x1X≤x2}=? 核心技術(shù)：讓x1，X，ｘ2三方“同跳標(biāo)準(zhǔn)舞”，P{x1X≤x2}=P{ ≤}=（）－。反之，若這個(gè)知識(shí)點(diǎn)不透，后面的學(xué)習(xí)將會(huì)在黑暗中摸索，因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)部分仍將反復(fù)使用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)?？墒∪ミ^(guò)程，直接使用公式：P{x1X≤x2}=（）－由于的圖像關(guān)于遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱，口訣： 解：（１）P{2X≤5}＝＝P{－4X≤10}==P{丨X丨2}=1－P{2≤X≤2}=1－Φ(232)+Φ(232)=1－Φ(－12)+Φ(－52)=1+Φ(12)－Φ(52)=P{X3}=1－P{X≤3}=1－Φ(332)=1－12=12=（2）由P{Xc}=P{X≤c}得：P{X≤c}=12，P{X≤c}=Φ(c32)=12，則c=3（3）P{Xd}=1－P{X≤d}=1－P{X32≤d32}=1－Φ(ｄ３２)≥?Φ(d32)≤?d32≤?d≤10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為對(duì)獨(dú)立重復(fù)觀察4次，表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。解： 因?yàn)殡S機(jī)變量的概率密度函數(shù)為所以。因此。于是便可得11. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為試求。解：所以 ， 于是得。12. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度 =，x≥0，求Y=的概率密度。解：因?yàn)榈娜≈捣秶?，且是?yán)增函數(shù)，其反函數(shù)為，及，所以的密度函數(shù)為13．設(shè)隨機(jī)變量，求的分布。解：因?yàn)榈娜≈捣秶牵援?dāng)時(shí)的密度函數(shù)為。而當(dāng)時(shí)，的分布函數(shù)為，上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)的密度函數(shù)為所以的密度函數(shù)為14. 設(shè)隨機(jī)變量X服從，求隨機(jī)變量的密度函數(shù)。解：的密度函數(shù)為由于在內(nèi)取值，所以的取值范圍是。在的取值范圍之外有。而當(dāng)時(shí)，的分布函數(shù)為上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得所以的密度函數(shù)為 15. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求的概率密度。解 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，或當(dāng)時(shí)， 則概率密度為 三、 應(yīng)用題1. 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下。先作第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10％，求（1） 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率。（2） 需做第二次檢驗(yàn)的概率。（3） 這批產(chǎn)品按第二次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率。（4） 這批產(chǎn)品在第一次檢驗(yàn)未能作決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率。這批產(chǎn)品被接受的概率。 解： 設(shè)X=“第一次檢驗(yàn)的次品數(shù)”，Y=“第二次檢驗(yàn)的次品數(shù)”，p=10％=，則X~b(10,), Y ~b(5,)（1） P{X=0}=()10=≈（2） P{1≤X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=i=()10i≈（3） P{Y=0}=()5=≈（4） P{Y=0,1≤X≤2}=P{Y=0}P{1≤X≤2} 兩事件相互獨(dú)立 =≈（5） P（{X=0}∪{Y=0,1≤X≤2}）=+=2. 有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。（1） 某人隨機(jī)的去猜，問(wèn)他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2） 某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次，試推斷他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的）。要點(diǎn)： 本題第（2）問(wèn)為后面第八章假設(shè)檢驗(yàn)作伏筆。解： （1）為古典概型問(wèn)題，基本事件總數(shù)為C84，則成功一次的概率為1/C84=170（2）設(shè)成功次數(shù)為X，則X~b(10,170)，所以P{X=3}=C103(170)3(1170)7≈104因?yàn)閮H憑猜測(cè)，能成功3次的概率特別小，可認(rèn)為他確有區(qū)分的能力。3. 有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)。在某天的改短時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2 的概率是多少？（利用泊松定理計(jì)算。）解： 1000輛汽車中在一天的某段時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布b(1000,),所求概率為 P{X≥2}=k=21000C1000k()k()1000k =1－k=01C1000k()k()1000k =1－()1000C10001()()999計(jì)算較麻煩，如果用泊松定理計(jì)算，將大大化簡(jiǎn)計(jì)算。即Cnkpkqnk≈eλλkk!，其中λ≈np=1000=，于是P{X≥2}=1－P{X2}=1－P{X=0}－P{X=1}≈1－()00!()1! =1－=4. 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計(jì)）服從N（110，122），在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測(cè)量她的血壓X；（1）求P{X≤105}，P{100X≤120}；（2）確定最小的x，使P{Xx}≤。解（1）X~N(110,122)P{X≤105}=Φ(10511012)=Φ(－)=1－Φ()=1－=P{100X≤120}=Φ(12011012)－Φ(10011012)=Φ()－Φ(－)=2Φ()－1=（2）要使P{Xx}≤，只須1－P{X≤x}≤，即 P{X≤x}≤1－=亦即 Φ(x11012)≥，故 x11012≥，x≥。5. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為fXx=15ex/5，x00， x≤0，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘，他就離開，他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}。要點(diǎn)： 5次?5重?Y~b(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解： Y~b(5,p)p =P{X10}=10+∞ftdt=10+∞15ex/5dx=dx=e2?Y~b(5,e2)Y的分布律為P{Y=k}=C5k(e2)k(1e2)5k，k=0，1，2，3，4，5P{Y≥1}=1－P{Y1}=1－P{Y=0}=1－(1e2)5=6. 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)μ=，σ=，177。，求一螺栓為不合格品的概率。解：記螺栓的長(zhǎng)度為X，則螺栓為不合格品的概率為3. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為μ=160，σ的正態(tài)分布，若要求P{120X≤200}≥，允許σ最大為多少？解： X~N(160,σ2)?X160σ~N(0,1)P{120X≤