【文章內(nèi)容簡介】 ________.解： ① ②解（1）（2）聯(lián)立方程有：.二、 計算題1. 一汽車沿一街道行駛，要經(jīng)過三個有信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠信號顯示的時間相等，求此汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)X的概率分布。解： 設(shè) ={第 個路口遇到紅燈}，=1,2,3,則P()=, X的所有取值為0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()= P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)= =2. 一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，問在同一時刻（1） 恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？解：設(shè)對每個設(shè)備的觀察為一次試驗，則試驗次數(shù)為5且每次試驗相互獨立。于是X～b(5,),分布律為 P{X=k}=C5k()k()5k，k=0，1，2，3，4，5（1） P{X=2}=C52（）3=（2） P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =C53??+C54??+C55?=（3） P{X≤3}=1P{X=4}P{X=5} =1C54???=（4） P{X≥1}=1P{X1}=1P{X=0} =1C50??（）5=3. ，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。（1）進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進行了7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。解：設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X，則X~b(n,)，設(shè)B為指示燈發(fā)出信號。（1） n=5，則P(B)=P{X≥3}=k=35C5k()k()5k=或 P(B)=1k=02P{X=k}=1()()4C52()2()3=（2）n=7， 則P(B)=k=37P{X=k}=k=37C7k()k()7k=或 P(B)=1k=02P{X=k}=1()()2()5=4. 設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 試求（1）X的分布函數(shù)； （2） 。 解：當時，；當時，；當時，；當時，所以可的X的分布函數(shù)為（2） 5. 設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 試求（1） 系數(shù)A； （2） X落在區(qū)間（0，p/4）的概率。解：（1）因為 所以（2） 所求概率6. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 試求（1）系數(shù)A； （2） X落在區(qū)間（，）內(nèi)的概率； （3） X的密度函數(shù)。解：（1） 由的連續(xù)性，有，由此得（2） （3） X的密度函數(shù)為7. 對某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語成績（按百分制計）近似服從正態(tài)分布，%，求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解：設(shè)X表示考生的外語成績，且X～N(72,),則P(X＞96)=1P(X≤96)=1()=,即 ()=,查表得=2，則 =12，即且X～N(72,144)，故P(60≤X≤84)=P(1≤≤1)=2(1)1=8. 設(shè)測量誤差X～N(0，100)，并用Possion分布求其近似值（）。解：由于X～N(0，100)，則P(|X|＞)=1 P(|X|≤)=2[1()]=～B(100,),故P(Y≥3)=1 P(Y≤2)=1設(shè)l=np=100=5，且Y~P(5),則P(Y≥3)=1 P(Y≤2)=1=9. 設(shè)X ~ N (3,22)，(1)求Ｐ{2X≤5}，P{－4X≤10}，P{丨X丨2},P{X 3}。（2）確定c使得P{Xc}=P{X≤c}, (3) 設(shè)d滿足P{Xd}≥，問d至多為多少？要點： 本題及接下來的四道題要查表計算：一般正態(tài)化為標準正態(tài)，再查標準正態(tài)表，其理論根據(jù)：若X~N(,2),則～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（，2）,求P{x1X≤x2}=? 核心技術(shù)：讓x1，X，ｘ2三方“同跳標準舞”，P{x1X≤x2}=P{ ≤}=（）－。反之，若這個知識點不透，后面的學(xué)習(xí)將會在黑暗中摸索，因為在統(tǒng)計部分仍將反復(fù)使用這個知識點?？墒∪ミ^程，直接使用公式：P{x1X≤x2}=（）－由于的圖像關(guān)于遠點對稱，口訣： 解：（１）P{2X≤5}＝＝P{－4X≤10}==P{丨X丨2}=1－P{2≤X≤2}=1－Φ(232)+Φ(232)=1－Φ(－12)+Φ(－52)=1+Φ(12)－Φ(52)=P{X3}=1－P{X≤3}=1－Φ(332)=1－12=12=（2）由P{Xc}=P{X≤c}得：P{X≤c}=12，P{X≤c}=Φ(c32)=12，則c=3（3）P{Xd}=1－P{X≤d}=1－P{X32≤d32}=1－Φ(ｄ３２)≥?Φ(d32)≤?d32≤?d≤10. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為對獨立重復(fù)觀察4次，表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。解： 因為隨機變量的概率密度函數(shù)為所以。因此。于是便可得11. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為試求。解：所以 ， 于是得。12. 設(shè)隨機變量X的概率密度 =，x≥0，求Y=的概率密度。解：因為的取值范圍是，且是嚴增函數(shù)，其反函數(shù)為，及，所以的密度函數(shù)為13．設(shè)隨機變量，求的分布。解：因為的取值范圍是，所以當時的密度函數(shù)為。而當時，的分布函數(shù)為，上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，當時的密度函數(shù)為所以的密度函數(shù)為14. 設(shè)隨機變量X服從，求隨機變量的密度函數(shù)。解：的密度函數(shù)為由于在內(nèi)取值，所以的取值范圍是。在的取值范圍之外有。而當時，的分布函數(shù)為上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得所以的密度函數(shù)為 15. 設(shè)隨機變量X的概率密度為，求的概率密度。解 當時，則當或時，或當時， 則概率密度為 三、 應(yīng)用題1. 有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下。先作第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10％，求（1） 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率。（2） 需做第二次檢驗的概率。（3） 這批產(chǎn)品按第二次檢驗的標準被接受的概率。（4） 這批產(chǎn)品在第一次檢驗未能作決定且第二次檢驗時被通過的概率。這批產(chǎn)品被接受的概率。 解： 設(shè)X=“第一次檢驗的次品數(shù)”，Y=“第二次檢驗的次品數(shù)”，p=10％=，則X~b(10,), Y ~b(5,)（1） P{X=0}=()10=≈（2） P{1≤X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=i=()10i≈（3） P{Y=0}=()5=≈（4） P{Y=0,1≤X≤2}=P{Y=0}P{1≤X≤2} 兩事件相互獨立 =≈（5） P（{X=0}∪{Y=0,1≤X≤2}）=+=2. 有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1） 某人隨機的去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2） 某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗10次，成功3次，試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的）。要點： 本題第（2）問為后面第八章假設(shè)檢驗作伏筆。解： （1）為古典概型問題，基本事件總數(shù)為C84，則成功一次的概率為1/C84=170（2）設(shè)成功次數(shù)為X，則X~b(10,170)，所以P{X=3}=C103(170)3(1170)7≈104因為僅憑猜測，能成功3次的概率特別小，可認為他確有區(qū)分的能力。3. 有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過。在某天的改短時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2 的概率是多少？（利用泊松定理計算。）解： 1000輛汽車中在一天的某段時間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)X服從二項分布b(1000,),所求概率為 P{X≥2}=k=21000C1000k()k()1000k =1－k=01C1000k()k()1000k =1－()1000C10001()()999計算較麻煩，如果用泊松定理計算，將大大化簡計算。即Cnkpkqnk≈eλλkk!，其中λ≈np=1000=，于是P{X≥2}=1－P{X2}=1－P{X=0}－P{X=1}≈1－()00!()1! =1－=4. 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計）服從N（110，122），在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X；（1）求P{X≤105}，P{100X≤120}；（2）確定最小的x，使P{Xx}≤。解（1）X~N(110,122)P{X≤105}=Φ(10511012)=Φ(－)=1－Φ()=1－=P{100X≤120}=Φ(12011012)－Φ(10011012)=Φ()－Φ(－)=2Φ()－1=（2）要使P{Xx}≤，只須1－P{X≤x}≤，即 P{X≤x}≤1－=亦即 Φ(x11012)≥，故 x11012≥，x≥。5. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為fXx=15ex/5，x00， x≤0，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}。要點： 5次?5重?Y~b(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解： Y~b(5,p)p =P{X10}=10+∞ftdt=10+∞15ex/5dx=dx=e2?Y~b(5,e2)Y的分布律為P{Y=k}=C5k(e2)k(1e2)5k，k=0，1，2，3，4，5P{Y≥1}=1－P{Y1}=1－P{Y=0}=1－(1e2)5=6. 由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)μ=，σ=，177。，求一螺栓為不合格品的概率。解：記螺栓的長度為X，則螺栓為不合格品的概率為3. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為μ=160，σ的正態(tài)分布，若要求P{120X≤200}≥，允許σ最大為多少？解： X~N(160,σ2)?X160σ~N(0,1)P{120X≤