【文章內容簡介】 于兩個不同的極限．性質2（收斂數列的有界性） 如果數列收斂，那么數列一定有界．性質3 如果且，那么存在正整數，當時，有．性質4（收斂數列與其子數列間的關系） 如果數列收斂于，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是．練習 P26 1 、2小結與思考：1． 中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中介紹割圓術計算圓周率．“割之彌細，所失彌少．割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣．”這句話明確的表達了極限思想．第三節(jié) 函數的極限一、函數極限的定義一般地， 在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限。1．函數當時的極限滿足的的范圍稱作以為中心的鄰域，滿足的范圍稱作以為中心，以為半徑的去心鄰域，記作．現(xiàn)在考慮自變量的變化過程為．如果在的過程中，對應的函數值無限接近于確定的數值，那么就說是函數當時的極限．當然，這里我們首先假定函數在點的某個去心鄰域內是有定義的．函數極限的解析定義：設函數在點的某一去心鄰域內有定義．如果對于任意給定的正數（不論它多么?。?，總存在正數，使得對于適合不等式的一切，對應的函數值都滿足不等式，那么常數就叫做函數當時的極限，記作或（當）．上述時函數的極限概念中，是既從的左側也從的右側趨于的．但有時只能或只需考慮僅從的左側趨于（記作）的情形，或僅從的右側趨于（記作）的情形．在的情形，在的左側，．在的定義中，把改為，那么就叫做函數當時的左極限，記作或．類似地，在的定義中，把改為，那么就叫做函數當時的右極限，記作或．根據時函數的極限的定義，以及左極限和右極限的定義，容易證明：函數當時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即．因此，即使和都存在，但若不相等，則不存在．而左右極限統(tǒng)稱為單側極限。注：若極限存在時（1）是唯一的確定的常數；（2）表示從的左右兩側同時趨于； （3）極限的存在與在有無定義或定義的值無關．圖17例1 函數當時的極限不存在．證 當時的左極限，而右極限，因為左極限和右極限存在但不相等，所以不存在（圖17）2．函數當時的極限我們知道，當時越來越接近零．如果函數當無限增大時，取值和常數要多接近就有多接近，此時稱是當時的極限，記作．函數極限的解析定義：設函數當大于某一正數時有定義．如果對于任意給定的正數（不論它多么?。?，總存在著正數，使得對于適合不等式的一切，對應的函數值都滿足不等式，那么常數就叫做函數當時的極限，記作或（當）．注：若（1）是唯一的確定的常數；（2）既表示趨于，也表示趨于．如果時，取值和常數要多接近就有多接近，我們稱是當時的極限，記作．如果時，取值和常數要多接近就有多接近，我們稱是當時的極限，記作．顯然，存在的充分必要條件是二、 函數極限的性質定理1 函數極限唯一性。與數列極限的唯一性一致定理2 函數極限的局部有界性。與數列極限的有界性類同定理3（極限的局部保號性） 如果，而且（或），那么就存在著點的某一去心鄰域，當在該鄰域內時，就有（或）．定理1’ 如果（），那么就存在著的某一去心鄰域，當時，就有．定理2 如果在的某一去心鄰域內（或），而且，那么（或）．練習P33 3小結：本節(jié)講述了各種趨勢下的極限的定義．第四節(jié) 無窮大與無窮小前面我們研究了 數列的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限，這七種趨近方式．下面我們用＊表示上述七種的某一種趨近方式，即＊一、無窮小定義1 當在給定的＊下，以零為極限，則稱是＊下的無窮小量，即．無窮小與函數極限的關系:定理1 函數具有極限A的充分必要條件是，其中是無窮小.一、無窮大定義2 當在給定的＊下，無限增大，則稱是＊下的無窮大量，記作．顯然，時，都是無窮大量， 時，都是無窮小量．注：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢．無窮小與無窮大的關系：定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮??；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大．例1 當時，是 （ ）A） 無窮小 B） 無窮大 C） 有界函數 D） 無界的但不是無窮大分析：取，則，此時取，則，此時答案：D作業(yè) P37 4小結與思考：本節(jié)給出了無窮小量和無窮大量的概念和它們的相關性質，注意不要錯誤的利用這些性質．１．求極限 分析：含有絕對值符號，必須去掉絕對值，要考慮從左、右極限入手．解：====所以 原極限=1 第五節(jié) 極限運算法則本節(jié)討論極限的求法，主要介紹極限的四則運算法則和復合函數極限的運算法則，利用這些法則，可以求某些函數的極限．在下面的討論中，記號“”表示定理對及都是成立的．定理1　有限個無窮小的和也是無窮?。ɡ?　有界函數與無窮小的乘積是無窮小．推論1　常數與無窮小的乘積是無窮?。普?　有限個無窮小的乘積是無窮?。ɡ?　如果，那么存在，且．　　（1－５）證　因，有，其中為無窮?。谑怯啥ɡ?知為無窮小，再由定理３知　定理７可推廣到有限個函數的情形．例如，如果都存在，則有．　如果，那么存在，且．（1－6）推論1　如果存在，為常數，則．推論2　如果存在，為正整數，則．定理4　如果，且，則存在，且．（1－7）以上定理和推論對于數列也是成立的．定理5 如果，而都存在，那么．例1 求．解 ．事實上，設多項式，則