【文章內容簡介】 niPF ）（ ?? 1 （ 1Z1010121） 式中 ni）（ ?1 稱之為一次支付終值系數，用（ niPF ，/ ）表示，故式（ 1Z1010121）又可寫成： ），（ niPFPF /? （ 1Z1010122） 在（ niPF ，/ ）類符號中，括號內斜線上的符號表示所求的未知數，斜線下的符號表示已知數。（ niPF ，/ ）表示在已知 P 、 i 和 n 的情況下求解 F 的值。 【例 1Z1010121】 某公司借款 1000 萬元，年復利率 %10?i ，試問 5 年末連本帶利一次需償還若干 ? 解： 按式（ 1Z1010121）計算得： 萬元）（）（ %10110001 5 ???????? niPF （已知 F 求 P） 由式（ 1Z1010121）的 逆運算即可得出現值 P 的計算式為： nn iFiFP ????? ）（）（ 11 （ 1Z1010123） 式中 ni）（ ?1 稱為一次支付現值系數，用符號（ niFP ，/ ）表示。式（ 1Z1010123）又可寫成： ），（ niFPFP /? （ 1Z1010124） 一次支付現值系數這個名稱描述了它的功能，即未來一筆資金乘上該系數就可求出其現值。計算現值 P 的過程叫 “ 折現 ” 或 “ 貼現 ” ，其所使用的利率常稱為折現率或貼現率。故 ni ??）（ 1 或（ niFP ，/ ）也可叫折現系數或貼現系數。 【例 1Z1010122】 某公司希望所投資項目 5 年末有 1000 萬元資金，年復利率 %10?i ，試問現在需一次投入多少 ? 解： 由式（ 1Z1010123）得： 萬元）（）（ %10110001 5 ???????? ?? niPF 從上面計算可知，現值與終值的概念和計算方法正好相反，因為現值系數與終值系數是互為倒數，即 ），（， niFPniPF / 1)/( ?。在 P 一定， n 相同時， i 越高， F 越大；在 i 相同時， n 越長， F 越大，如表 1Z1010122 所示。在 F 一定， n 相同時， i 越高， P 越?。辉?i 相同時， n 越長， P 越小，如表 1Z1010123 所示。 一元現值與終值的關系 表 1Z1010122 時間 利率 1 年 5 年 10 年 20 年 1% 5% 8% 10% 12% 15% 一元終值與現值的關系 表 1Z1010122 時間 利率 1 年 5 年 10 年 20 年 1% 5% 8% 10% 12% 15% 從表 1Z1010122 可知，按 12%的利率，時間 20 年，現值與終值相差 倍。如用終值進行分析，會使人感到評價結論可信度降低；而用現值概念很容易被決策者接受。因此，在工程經濟分析中，現值比終值使用更為廣泛。 在工程經濟評價中，由于現值評價常常是選擇現在為同一時點，把技術方案預計的不同時期的現金流量折算成現值，并按現值之代數和大小作出決策。因此，在工程經濟分析時應當注意以下兩點： 一是正確選取折現率。折現率是決定現值大小的一個重要因素，必須根據實際情況靈活選用。 二是要注意現金流量的分布情況。從收益方面來看，獲得的時間越早、數額越多，其現值也越大。因此，應使技術方案早日完成，早日實現生產能力，早獲收益，多獲收益，才能達到最佳經濟效益。從投資方面看，在投資額一定的情況下，投資支出的時間越晚、數額越少，其現值也越小。因此，應合理分配各年投資額，在不影響技術方案正常實施的前提下，盡量減少建設初期投資額，加大建設后期投資比重。 （二）等額支付系列現金流量的終值、現值計算 流量 在工程經濟活動中，多次支付是最常見的支付情形。多次支付是指現金流量在多個時點發(fā)生，而不是集中在某一個時點上。如果用 tA 表示第 t 期末發(fā)生的現金流量大小，可正可負，用逐個折現的方法，可將多次支付現金流量換算成現值，即： niAiAiAP ??? ????????????? ）（?。ǎ?12121 211 tntt iA ????? ）（ 11 （ 1Z1010125） 或 ），（ tFPAP ntt i/1??? （ 1Z1010126） 同理，也可將多次支付現金流量換算成終值： tnnttAF ???? ? ）（ i11 或 ），（ tnPFAF ntt ?? ??i/1 （ 1Z1010128） 在上面式子中，雖然那些系數都以計算得到，但如果 n 較長， tA 較多時，計算也是比較繁瑣的。如各年的現金流量 tA 有如下特征，則可大大簡化上述計算公式。 各年的現金流量序列是連續(xù)的，且數額相等，即： tA ＝ A ＝常數 t ＝ 1， 2， 3， ?? ， n （ 1Z1010129） 式中 A—— 年金，發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列各計息期末（不包括零期）的等額資金序列的 價值。 等額支付系列現金流量如圖 1Z1010123 所示。 （已知 A ， 求 F ） 由式（ 1Z1010127）可得出等額支付系列現金流量的終值為： ]1111[1 2111 ???????????????? ????? ）（?。ǎǎ?iiiAiAF nnnnt t iiAFn 11 ??? ）（ （ 1Z10101210） 式中 ii n 11 ?? ）（ 稱為等額支付系列終值系數或年金終值系數，用符號（ niAF ，/ ）表示。則式（ 1Z10101210）又可寫成： ），（ niAFAF /? （ 1Z10101211） 【例 1Z1010123】 某投資人若 10 年內每年末存 10000 元，年利率 8%，問 10 年末本利和為多少 ? 解： 由式（ 1Z10101210）得： %8 1%811 0 0 0 01110 ??????? ）（）（iiAFn 　元1 4 4 8 7 04 8 0 0 0 0 ??? （已知 A，求 P） 由式（ 1Z1010123）和式（ 1Z10101210）可得： nnnii iAiFP ）（ ）（）（ ? ????? ? 1 111 （ 1Z10101212） 式中nnii i ）（ ）（ ? ??1 11 稱為等額支付系列現值系數或年 金現值系數，用符號（ niAP ，/ ）表示。則式（ 1Z10101212）又可寫成： ），（ niAPAP /? （ 1Z10101213） 【例 1Z1010124】 某投資項目，計算期 5 年，每年年末等額收回 100 萬元，問在利率為 10%時，開始須一次投資多少 ? 解： 由式（ 1Z10101212）得 萬元）（ ）（）（ ）（ %101%10 1%1011001 11 55 ???? ????? ??? nnii iAP 三、等值計算的應用 （ 202016） （一）等值計算公式使用注意事項 （ 1）計息期數為時點或時標，本期末即等于下期初。 0 點就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余類推。 （ 2） P 是在第一計息期開始時（ 0 期）發(fā)生。 （ 3） F 發(fā)生在考察期期末，即 n 期末。 （ 4）各期的等額支付 A，發(fā)生在各期期末。 （ 5）當問題包括 P 與 A 時，系列的第一個 A 與 P 隔一期。即 P 發(fā)生在系列 A 的前一期。 （ 6）當問題包括 A 與 F 時，系列的最后一個 A 是與 F 同時發(fā)生。不能把 A 定在每期期初，因為公式的建立與它是不相符的。 （二）等值計算的應用 根據上述復利計算公式可知，等值基本公式相互關系如圖 1Z1010124 所示。 【例 1Z1010125】 設 i＝ 10%，現在的 1000 元等于 5 年末的多少元 ? 解： 畫出現金流量圖（如圖 1Z1010125 所示）。 根據式（ 1Z1010121）可計算出 5 年末的本利和 F 為： 元）（）（ 6 1 0 %10110001 5 ???????? niPF 計算表明，在年利率為 10%時，現在的 1000 元，等值于 5年末的 元；或 5 年末的 元，當 i＝ 10%時，等值于現在的 1000 元。 如果兩個現金流量等值，則對任何時刻的價值必然相等?，F用上例求第 3 年末的價值。 按 P＝ 1000 元計算 3 年末的價值，根據式（ 1Z1010121）可計算得： 元）（）（ 1 3 3 0 0 0%1011 0 0 01 33 ???????? niPF 用 F＝ 元，計算 2 年前的價值，根據式（ 1Z1010123）可計算得： 元）（）（ %39。 2 ???????? ?? niFP 若計算第七年末的價值： 按 P＝ 1000 元計算第七年末的價值，根據式（ 1Z1010121）可計算得： 元）（）（ %10110001 77 ???????? niPF 按 F＝ 元，計算第七年末的價值（注意：這時 n＝ 7－ 5＝ 2），根據式（ 1Z1010121）可計算得： 元）（）（ %39。 2 ???????? niPF 影響資金等值的因素有三個： 資金數額的多少、資金發(fā)生的時間長短、利率（或折現率）的大小 。其中利率是一個關鍵因素，一般等值計算中是以同一利率為依據的。 （ 202068） 在工程經濟分析中，等值是一個十分重要的概念，它為評價人員提供了一個計算某一經濟活動有效性或者進行技術方案比較、優(yōu)選的可能性。因為在考慮資金時間價值的情況下，其不同時間發(fā)生的收入或支出是不能直接相加減的。而利用等值的概念，則可以把在不同時點發(fā)生的資金換算成同一時點的等值資金，然后再進行比較。所以，在工程經濟分析中，技術方案比較都是采用等值的概念來進行分析、評價和選定。 【例 1Z1010126】 某項目投資 10000 萬元，由甲乙雙方共同投資。其中：甲方出資 60%，乙方出資40%。由于雙方未重視各方的出資時間，其 出資情況如表 1Z1010124 所示。 甲乙雙方出資情況 單位：萬元 表 1Z1010124 第 1 年 第 2 年 第 3 年 合計 所占比例 甲方出資額 3000 2020 1000 6000 60% 乙方出資額 1000 1000 2020 4000 40% 合計 4000 3000 3000 10000 100% 表 1Z1010124 所示的這種資金安排沒有考慮資金的時間價值，從絕對額看是符合各方出資比例的。但在考慮資金時間價值后，情況就不同了。設該項目的收益率為 i＝ 10%，運用等值的概念計算甲乙雙方投資的現值如表 1Z1010125 所示。 甲乙雙方出資現值 單位：萬元 表 1Z1010125 第 1 年 第 2 年 第 3 年 合計 所占比例 折現系數 甲方出資額 % 乙方出資額 % 合計 100% 由表 1Z1010125 可知，這種出資安排有損甲方的利益，必須重新作出安排。一般情況下，應堅持按比例同時出資，特殊情況下，不能按比例同時出資的，應進行資金等值換算。 1Z101013 名義利率與有效利率的計算 在復利計算中，利率周期通常以年為單位，它可以與計息周期相同，也可以不同。當計息周期小于 一年時，就出現了名義利率和有效利率的概念。 （ 202074）（ 202069） 一、名義利率的計算 所謂名義利率 r 是指計息周期利率 i 乘以一年內的計息周期數 m所得的年利率。即： r＝ i m （ 1Z1010131） 若計息周期月利率為 1%，則年名義利率為 12%。很顯然， 計算名義利率時忽略了前面各期利息再生的因素，這與單利的計算相同 。通常所說的年利率都是名義利率。 二、有效利率的計算 有效利率是指資金在計息中所發(fā)生的 實際利率 ，包括計息周期有效利率和年有效利率兩種情況。 計息周期有效利率，即計息周期利率 i，其計算由式（ 1Z1010131）可得： mri?