專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料全(編輯修改稿)
2025-05-13 12:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x→∞時，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng)x→∞時，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理（1）（2）（3）當(dāng)時，時，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運(yùn)算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對于的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，…來表示無窮小量。：可表示為A與一個無窮小量之和。注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。例如：振蕩型發(fā)散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因?yàn)?。（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（∞）不是一個數(shù)值，“∞”是一個記號，絕不能寫成或。無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。當(dāng)無窮大無窮小當(dāng)為無窮小無窮大性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r無窮小量代換定理：如果當(dāng)時，均為無窮小量，又有且存在，則。均為無窮小又有這個性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當(dāng)時，sinx～x。tan～x。arctanx～x。arcsinx～x。（六）兩個重要極限Ⅰ重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式令這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。其結(jié)構(gòu)式為：Ⅱ重要極限Ⅱ是指下面的公式：其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為e=……其結(jié)構(gòu)式為：重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，
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