【文章內(nèi)容簡介】 貸 [后來托賓修正了這一假設(shè)，在模型中引入了無風(fēng)險(xiǎn)證券假設(shè)，見 “ Markowitz投資組合 模型的拓展 ” ]； 63 Markowitz投資組合 模型的拓展 模型 假設(shè) 假設(shè) 存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 無限制借入、借出 不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 允許賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 最終模型 Black模型 不允許賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) Tobin模型 Markowitz的最初模型 64 ?在上述假設(shè)及分析基礎(chǔ)上，該理論認(rèn)為，只要各資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)不為 1，則投資者投資于多樣化的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)即可以降低非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) [如前所述 ]。 ?該理論一個(gè)隱含的推論就是市場不對非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，而只對系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行補(bǔ)償。 65 二、理論推導(dǎo) 記 ：資產(chǎn) A、 B與投資組合的預(yù)期收益率； ：資產(chǎn) A、 B及投資組合的方差 [表示風(fēng)險(xiǎn) ]； ：按市值計(jì)算的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) A、 B在組合中的權(quán)重。 pBA ERERER 、222 PBA ??? 、BA WW 、66 設(shè) 為組合的市場價(jià)值， 分別為 A、 B的市場價(jià)值，顯然有： ； pV BA VV 、pBBpAA VVWVVW ?? 、BBAAp ERWERWER ??于是我們得到： BABABBAAp WWWW ?????? 222222 ???[1] [2] 67 是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) A、 B的相關(guān)系數(shù) ， 且一定有 | |≤ 1， ??顯然由上式有： BAAABAAAp WWWW ?????? )1(2)1( 22222 ??????| | ≤1 由于： 222 ])1([])1([ BAAApBAAA WWWW ????? ??????因此： 68 即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的方差不大于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)方差的組合，因此，只要 ， [現(xiàn)實(shí)中確實(shí)不存在相關(guān)系數(shù)為 1的兩種資產(chǎn) ]即有： 1??22 ])1([ BAAAp WW ??? ??? 因此，資產(chǎn)組合確實(shí)能在不降低收益的前提下降低風(fēng)險(xiǎn)，此即是投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化原理。如果我們在既定收益水平下求兩證券組合的最小方差或標(biāo)準(zhǔn)差，那么我們可以模擬出習(xí)題 3所示的圖形，從而可以求出有效投資組合前沿，它們是既定收益水平下的最小風(fēng)險(xiǎn)組合或風(fēng)險(xiǎn)既定下的最大收益組合。 69 2. 項(xiàng)資產(chǎn)組合模型 n我們將兩資產(chǎn)模型推演到 項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合情況。 記： ：第 項(xiàng)資產(chǎn)的預(yù)期收益率； ：第 項(xiàng)資產(chǎn)的均方差； ：資產(chǎn) 之間的協(xié)方差： ：第 項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在整個(gè)組合中的權(quán)重： niERi?)( jiij ??iWiiji,i70 則有： ；???niiip ERWER1；)(1 12122 jiWWWninjijjiiniip ??? ? ??? ????? 根據(jù)理性行為人假設(shè)，投資者只需在既定收益率的約束條件下，使組合的風(fēng)險(xiǎn)最小，即方差最小，即達(dá)到最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)投資組合，即： 71 ；? ??? ?????ninjijjiniiip jiWWW1 1122 )(mi n ???；???niiip ERWERts1..；； 011????inii WW 注：這是 Markowitz最初的研究結(jié)果，即在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)且不允許賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的有效組合前沿 [該模型的求解可借助專門的計(jì)算機(jī)程序，此處略 ]。 72 p?pERB A M C D F E 對任意給定的預(yù)期回報(bào)率必有一確定的風(fēng)險(xiǎn)水平，從而構(gòu)成了預(yù)期收益率 —— 標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖 [AEMDFB線 ] 圖 32 可行集與有效集 73 、有效集與最優(yōu)投資組合的選擇 [feasible set]： 指由 n種證券所形成的所有投資組合的預(yù)期收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間對應(yīng)關(guān)系的集合，它包括了現(xiàn)實(shí)中所有可能的組合。 在多種證券組合或資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn) —— 收益關(guān)系坐標(biāo)平面中，不同于圖 31的是， n種證券的投資組合所帶來的投資機(jī)會可能布滿圖 32所示的整個(gè)綠色區(qū)域，這一機(jī)會區(qū)域被稱為 在不存在資產(chǎn)賣空條件下 的投資的可行集。 注意：現(xiàn)實(shí)中可行集的位置也許與圖 32所示有所出入，但是基本形狀則基本一致。 74 ?有效集的定義 對于理性的投資者而言，他們是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的：對于既定的風(fēng)險(xiǎn)水平，他們會選擇最大的預(yù)期收益率；對于既定的收益水平則會選擇最小的風(fēng)險(xiǎn)水平。因此，能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的投資組合的集合即為有效集或有效前沿[efficient set]。 ?有效集的位置 顯然，有效集是可行集的一個(gè)子集，它包含于可行集中。因此根據(jù)定義我們可以從可行集中確定有效集的大致位置。 75 首先考慮第一個(gè)條件，位于 AMB曲線右邊任意一點(diǎn)的資產(chǎn)組合都并非最優(yōu)，因?yàn)樵谇€上總可以找到相應(yīng)的某一點(diǎn)組合優(yōu)于該點(diǎn)，如 C點(diǎn)所代表的投資組合即次于 D點(diǎn)所代表的投資組合。因此，對各種風(fēng)險(xiǎn)水平而言，能夠提供最大預(yù)期收益率的組合集是可行集中介于 M和 B點(diǎn)之間的上方邊界上的組合集； 現(xiàn)在考慮第二個(gè)條件，要在收益水平既定的條件下，選擇最小風(fēng)險(xiǎn)的組合，則此組合集是可行集中介于 A和 B之間的上方邊界上的組合集。 76 在同時(shí)滿足這兩個(gè)條件時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)只有 MB曲線 [圖中藍(lán)色線 ]滿足上述條件。 MB即是有效集，又稱為有效組合邊界或有效前沿 [efficient frontier]。 ?有效集的形狀 ?是一條向右上方傾斜的曲線，反映了 “ 高風(fēng)險(xiǎn)，高收益 ”的原則； ?有效集是一條向上凸的曲線；即其函數(shù)為凹函數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)大于 0，二階導(dǎo)數(shù)小于 0的特點(diǎn)。 77 在分析了兩資產(chǎn)模型和 n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型后，該理論認(rèn)為，多樣化的投資組合確實(shí)可以分散風(fēng)險(xiǎn)，并且該理論給出了在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下可供投資者選擇的有效組合邊界。這樣在引入投資者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避假設(shè)后，即可確定某一投資者的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，該組合必然是有效組合邊界 MB曲線與投資者無差異曲線的切點(diǎn)所代表的投資組合，如 N點(diǎn)、 G點(diǎn) [如圖 33。關(guān)于最優(yōu)投資組合選擇的數(shù)理模型請參閱相關(guān)書籍，此處從略 ]。 78 p?pERG N M I II B 圖 33 最優(yōu)投資組合 79 三 、 理論評價(jià) ?Markowitz的 資產(chǎn)組合理論建立了一系列的基本概念 ， 運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的均值和方差等概念為金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益分析提供了科學(xué)的依據(jù) ， 使得以方差衡量風(fēng)險(xiǎn)的現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)分析基本框架在現(xiàn)代金融理論中得到確立； ?該理論提出的有效組合的概念及分析方法大大簡化了投資分析的難度 ， Markowitz認(rèn)為證券組合中各證券之間的相關(guān)關(guān)系是決定證券組合風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵因素； 80 ?盡管 Markowitz的證券組合理論存在一些缺點(diǎn) [主要是其理論假設(shè)過于嚴(yán)格 ， 與現(xiàn)實(shí)相去太遠(yuǎn) ]， 但該理論在金融學(xué)理論發(fā)展史上是至關(guān)重要的 。 后續(xù)的 CAPM， 一方面綜合了其理論成果 ， 另一方面則進(jìn)一步簡化了證券組合理論在現(xiàn)實(shí)操作中的困難； ?該理論沒有考慮現(xiàn)實(shí)中存在的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況。在該理論中，我們假定所有證券均是有風(fēng)險(xiǎn)的，而沒有考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況，也沒有考慮到投資者按照無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況； 81 ?該理論也沒有考慮到西方金融市場實(shí)踐中現(xiàn)實(shí)存在的可以賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況 [在引入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)賣空假設(shè)后，有效前沿將會發(fā)生改變，其嚴(yán)密的推導(dǎo)過程請參閱附錄： n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效前沿的嚴(yán)格證明 ]； ?Markowitz的投資組合理論面臨的主要問題是 ， 他所提供的方法對普通投資者而言應(yīng)用難度太大 ， 只有一些大型的機(jī)構(gòu)投資者才能運(yùn)用 ， 并且該理論在實(shí)際運(yùn)用中還面臨計(jì)算煩瑣等問題 [此問題由 William Sharpe發(fā)展的單指數(shù)模型得以解決 ， 請參閱套利定價(jià)理論部分的相關(guān)內(nèi)容 ]。 82 四、引入無風(fēng)險(xiǎn)借貸與賣空假設(shè)后的理論拓展 /貸款下的投資組合 ?投資于一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況 ?標(biāo)準(zhǔn)差為 0，即 ； ?預(yù)期收益是確定的或已知的； ?與任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差為 0，即 ； 0?rf? /貸款的特點(diǎn) /貸款對有效集與投資組合選擇的影響 0?irf?83 假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在投資組合中的比例分別為 和 ，各自的預(yù)期收益率分別為 和 ，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 和 0，二者的協(xié)方差顯然為 0，我們可以得到： rW rfWr?rER fRfrfrrp RWERWER ??rrp W ?? ?因此得到： rprW ???[1] [2] [3] rprfW ???? 184 將 [3]代入 [1]可得： prfrfpRERRER ????? [4] 由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款的比重均大于 0且小于 1[為什么？ ]，因此，這兩種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的預(yù)期收益率與風(fēng)險(xiǎn)一定落在圖 34a所示的線段 AB上。 85 pERp?A B pERp?A B C D 圖 34 ),( rr ER?),0( fR86 ?投資于一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款和一個(gè)證券組合的情況 假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) C和 D構(gòu)成，根據(jù)前面的分析我們知道， B點(diǎn)一定位于經(jīng)過 C和 D兩點(diǎn)的向上凸出的弧線上 [為什么？ ]，如圖 34b所示。在知道了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) C和 D組合的預(yù)期收益率與標(biāo)準(zhǔn)差之后，我們可以利用式[1][4]，同樣可以得到最終的組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)對應(yīng)關(guān)系是落在線段 AB上的。 87 ?無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款對有效集的影響 如圖 35，我們可以利用有效集定義中的兩個(gè)條件判斷，在引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款后， 有效集的一部分曲線段MG將為新的有效集線段 AG所代替。而弧段 GB仍將作為有效集存在，因此新的有效集是由線段 AG和弧段 GB構(gòu)成 。 88 p?pERG M B 圖 35 引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款對有效集的影響 A 89 ?無風(fēng)險(xiǎn) 資產(chǎn) /貸款 對投資組合選擇的影響 對不同的投資者而言，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款的引入對其投資組合選擇的影響是不同的。 ?對厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度較輕的投資者，其投資組合的選擇將不受影響，他仍將選擇弧段 GB； ?對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較重的投資者，其投資組合的選擇將受影響，該投資者將選擇其無差異曲線與線段 AG相切的 O點(diǎn) [如圖 36]。 90 p?pERG M B 圖 36 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) /貸款下的投資組合選擇 A II I O O’ 91 在推導(dǎo) Markowitz有效集的過程中，我們假定投資者可以購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額僅限于其期初的財(cái)富。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，投資者可以借入資金并用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。一般情況下，借款所應(yīng)支付的利息是可以事先確知的，因?yàn)槔仕绞且阎?，并且我們假定在借款本息的償還上不存在不確定性。這種借款我們稱為無風(fēng)險(xiǎn)借款。 92 ?無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況 ?無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的情況； ?無風(fēng)險(xiǎn)借款對有效集的影響； ?無風(fēng)險(xiǎn)借款對投資組合選擇的影響； [上述四個(gè)方面的分析過程與影響請按照無風(fēng)險(xiǎn)貸款或無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)對有效集和投資組合選擇影響的推導(dǎo)過程自己進(jìn)行粗略的分析，這些分析的基本圖形請參見圖 37；38和 39； ] 93 pERp?A B pERp?A B C D 圖 37 ? 94 p?pERG M B 圖 38 引入無風(fēng)險(xiǎn)借款對有效集的影響 A 95 p?pERG M B 圖 39 無風(fēng)險(xiǎn)借款條件下的投資組合選擇 A II I O O’ 96 綜合上面的情況，在引入無風(fēng)險(xiǎn)借貸和賣空假設(shè)的情況下， Markowitz有效集就演變成為一條射線。該射線經(jīng)過無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) A點(diǎn)并且與初始的 Markowitz有效集相切于一點(diǎn) T[M][見圖 310]。 關(guān)于無風(fēng)險(xiǎn)借貸與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的組合的有效集求解問題的更嚴(yán)密的證明，請參閱史樹中 [2022]或楊云紅[2022]或歐陽光中、李敬湖 [1997]等。 9