【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【解析】 B．①∵，都不在數(shù)列中，∴數(shù)列不具有性質(zhì)；②容易驗(yàn)證數(shù)列具有性質(zhì)；③取，不在數(shù)列中，則在數(shù)列中，而數(shù)列中最小的數(shù)，因此；④由③的分析知，．由于，不在數(shù)列中，因此必然在數(shù)列中．又，故，于是，等式成立．28． （2010海淀一模理14）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集，則⑴ 點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積為_____；⑵ 點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積為 ．【解析】 ；；點(diǎn)集就是整個(gè)單位圓；點(diǎn)集所表示的區(qū)域是如圖所示的直角三角形，其中，．⑴ 點(diǎn)集是將點(diǎn)集中的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)加縱坐標(biāo)加得到的，即都進(jìn)行了一個(gè)向量的平移，所以整體上集合也按照向量進(jìn)行了平移，得到的點(diǎn)集還是一個(gè)半徑為的圓，圓心在，所以面積依舊是；⑵ 點(diǎn)集實(shí)際上可以寫成：，其中看成是按照向量的平移得到的點(diǎn)集．而得到的是以為圓心半徑為的圓，所以就是所有圓心在里半徑為的圓的并；如圖所示：當(dāng)半徑為的圓在邊界上滑動(dòng)時(shí)，分別得到矩形，矩形，矩形；在頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)，得到三個(gè)扇形；所以最終就是圖示陰影部分．不難求得面積【點(diǎn)評(píng)】 解決本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)是的平移，是的全體平移的并．如果只從集合的描述性表示入手的話是很抽象的．本題可以推廣到一般情形：如果是兩個(gè)閉圖形，則都是的全體平移的并．29． （2010海淀一模文14）若點(diǎn)集，則⑴點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積為_____；⑵點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積為___________ ．【解析】 ；；點(diǎn)集就是整個(gè)單位圓；點(diǎn)集所表示的區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形，如圖所示．⑴ 點(diǎn)集是將點(diǎn)集中的所有點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均加得到的，即都進(jìn)行了一個(gè)向量的平移，所以整體上集合也按照向量進(jìn)行了平移，得到的點(diǎn)集還是一個(gè)半徑為的圓，圓心在，所以面積依舊是；⑵點(diǎn)集實(shí)際上可以寫成：，其中看成是按照向量的平移得到的點(diǎn)集．而得到的是以為圓心半徑為的圓，所以就是所有圓心在正方形里半徑為的圓的并；如圖所示：當(dāng)半徑為的圓在邊界上滑動(dòng)時(shí)，分別得到個(gè)長(zhǎng)為寬為的矩形；在頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)，得到個(gè)扇形；所以最終就是圖示陰影部分．不難求得面積．30． （2010朝陽(yáng)一模理14）一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個(gè)數(shù)生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是 ，另一個(gè)是．設(shè)第次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和　 ；若，前次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為，則　 ．【解析】 ；．，，每次生成數(shù)的個(gè)數(shù)都比上一次翻倍，所以，；為了研究所有生成數(shù)中不同數(shù)的個(gè)數(shù)，我們用一個(gè)雙排單鏈表來考察一下生成數(shù)的過程：時(shí)，只有1個(gè)數(shù)；時(shí)，共有3個(gè)數(shù)：起，生成的所有數(shù)形成了一個(gè)雙排單鏈表，其中箭頭代表生成過程：時(shí)的鏈表如下：這個(gè)鏈表具有這樣的規(guī)律：①第一排從左往右，第二排從右往左，都是公差為3的等差數(shù)列；第一排的與第二排的對(duì)應(yīng)；②兩排項(xiàng)數(shù)相同但是錯(cuò)開1項(xiàng)，除掉第一排的尾項(xiàng)與第二排的首項(xiàng)以外，其余項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)且互為相反數(shù)；③在生成數(shù)的過程中，第一排的數(shù)只能生成其右邊和下邊的數(shù)，第二排的數(shù)只能生成其左邊和上邊的數(shù)，箭頭表明了生成的過程；④從到時(shí)，根據(jù)③，鏈表的中間段不可能再生成新數(shù)，只有第一排尾項(xiàng)與第二排首項(xiàng)能生成新數(shù)，第一排尾項(xiàng)為兩排右邊各加一項(xiàng)，變成兩排的新尾項(xiàng)；第二排首項(xiàng)為兩排左邊各加一項(xiàng)，變成兩排的新首項(xiàng)；⑤根據(jù)④，的鏈表每排項(xiàng)數(shù)比的鏈表多2，每排有3項(xiàng)，每排有5項(xiàng)，∴每排有項(xiàng)；⑥當(dāng)時(shí)，的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以兩排的項(xiàng)不會(huì)重復(fù)，從而列出了前次生成的所有不同的數(shù)；∴為鏈表的項(xiàng)數(shù)，即；另外，．下面給出了鏈表：31． （2010朝陽(yáng)一模文14）一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個(gè)數(shù)生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是 ，另一個(gè)是．設(shè)第次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和　 ；若，前次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為，則　 ．【解析】 ；．，，每次生成數(shù)的個(gè)數(shù)都比上一次翻倍，所以，；，時(shí)，生成的所有數(shù)為：∴．32． （2010東城一模理14）如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)，都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有，也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“Л型函數(shù)”．則下列函數(shù)：①； ② ； ③ ，是“Л型函數(shù)”的序號(hào)為　 ．【解析】 ①③；若，則，故①滿足；若，則，故③滿足；②反例：，時(shí)，構(gòu)成三角形，但，故不構(gòu)成三角形．33． （2010石景山一模理14文14）在數(shù)列中，若，（，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷：①若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②是等方差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列．其中正確命題序號(hào)為　 ．（將所有正確的命題序號(hào)填在橫線上）【解析】 ①②③④．由定義可知，是公差為的等差數(shù)列，①正確；為常數(shù)，故是等方差數(shù)列，②正確；若，則為常數(shù)，③對(duì)；設(shè)公差為，則，結(jié)合，兩式相減可得，故是常數(shù)列，④對(duì)．34． （2010西城一模理14）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖诜橇銓?shí)數(shù)使得對(duì)于任意，有，且，則稱為上的高調(diào)函數(shù)．如果定義域是的函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ．如果定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且為上的高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ．【解析】 ；．第一問，依定義，在上恒成立，即在上恒成立；由于，分兩種情況討論：①時(shí)，若，矛盾；所以這種情形不存在；②時(shí)，在上，一次函數(shù)在處取到最小值，根據(jù)題意，只需要最小值即可，解得；∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；第二問，用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．如圖所示，先作出的圖象，其圖象是由三條直線構(gòu)成的折線，與軸有三個(gè)交點(diǎn)；極大值點(diǎn)；極小值點(diǎn)；而是沿軸向左平移個(gè)單位得到的圖象，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)挠叶酥本€整體處于的左端直線上方時(shí)，才有恒成立（如圖所示的實(shí)線與虛線）；即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才是高調(diào)函數(shù)，解得的取值范圍是．35． （2010西城一模文14）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖诜橇銓?shí)數(shù)使得對(duì)于任意，有，且，則稱為上的高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列命題：①函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)；②函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)；③如果定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為上高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是；其中正確的命題是 ．（寫出所有正確命題的序號(hào)）【解析】 ②③；①中為減函數(shù)，故不可能是高調(diào)函數(shù)；②中，故②正確；的圖象如下圖所示，要使得，有；時(shí)，恒有，故即可，③正確．36． （2010西城二模文8）給出函數(shù)的一條性質(zhì)：“存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域中的一切實(shí)數(shù)均成立” ．則下列函數(shù)中具有這條性質(zhì)的函數(shù)是（ ）A． B． C． D．【解析】 D條件需存在常數(shù)使得恒成立，這就意味著必須在定義域上存在上界；對(duì)于選項(xiàng)A，無上界；對(duì)于選項(xiàng)B，無上界；對(duì)于選項(xiàng)C，無上界，對(duì)于選項(xiàng)D，有上界．37． （2010西城二模文14）我們可以利用數(shù)列的遞推公式求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)．則　 ；研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第個(gè)是該數(shù)列的第　 項(xiàng)．【解析】 ，．，同時(shí)，因此；第個(gè)出現(xiàn)在第項(xiàng)，因此第個(gè)是該數(shù)列的第．38． （2010海淀二模理14）給定集合，映射滿足：①當(dāng)時(shí)，；②任取若，則有．則稱映射：是一個(gè)“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射：是一個(gè)“優(yōu)映射”． 表1 表212323112343⑴ 已知表2表示的映射： 是一個(gè)優(yōu)映射，請(qǐng)把表2補(bǔ)充完整（只需填出一個(gè)滿足條件的映射）；⑵ 若映射：是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個(gè)，則這樣的“優(yōu)映射”的個(gè)數(shù)是　 ．【解析】 ⑴ 1234或123423142341⑵．考慮怎樣的映射才能構(gòu)成優(yōu)映射，設(shè)是一個(gè)優(yōu)映射，則：若，不難知道此時(shí)，即是恒等映射；若，則可知，此時(shí)如果，則又有；若，則又有，此時(shí)又轉(zhuǎn)化成對(duì)還是的討論：若，則；若，類似地；如此過程反復(fù)進(jìn)行，至多進(jìn)行次，最終我們可以得到：是的優(yōu)映射，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)單增序列，使得在該序列上是右輪換映射，在其余值是恒等映射，即：，…，，．在本題中，滿足的解恰有個(gè)的優(yōu)映射，其輪換序列為，有種情形，所以滿足題意的優(yōu)映射有個(gè)．39． （2010海淀二模文14）給定集合，．若是的映射，且滿足：⑴ 任取若，則；⑵ 任取若，則有．則稱映射為的一個(gè)“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射：是一個(gè)“優(yōu)映射”．表1123231表212343