全國大學生數(shù)學建模優(yōu)秀論文b題：產品銷量預測(編輯修改稿)
2025-05-04 02:14 本頁面
【文章內容簡介】 故令，得到?！?，當 時，由 ， （—6） 得，即單調增加，函數(shù)圖象為上凹弧；同理， 時，單調減少，函數(shù)圖象為上凸弧。這說明，在銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增加的；銷售量達到最大需求量的一半時，該產品正處于最暢銷時刻，此后銷售速度開始下降，可用下圖表示（3） 如果,可用初始條件 （—7） 此時可得解 （—8） 則時刻的產品銷量為 （—8） 對市場容量N的預測產品是有規(guī)律性的發(fā)展過程，企業(yè)要擴大銷量，必須要及時掌握產品所處市場的不同階段的市場需求。市場產品運動的發(fā)展變化軌跡可以用一條曲線來表示，分別代表了新產品研制成功后，從市場投入開始，發(fā)展到成長、成熟以至衰退被淘汰為止的整個銷售過程的全部時間。通過對問題二的分析求解發(fā)現(xiàn)，邏輯斯蒂模型還有一個問題，就是產品的市場容量未知，這是很難確定的。下面通過產品的生命周期理論，來給出市場容量的預測模型—龔柏慈曲線。 龔柏慈曲線產品生命周期曲線呈一條對稱的S形曲線，： 這是美國統(tǒng)計學家和數(shù)學家龔柏慈提出的作為控制人口增長的一種模型，結合本題，可以利用它來描述產品生命周期預測，其最大值就是所求的市場容量。其預測模型為： （—1）對求一、二階導數(shù)，有 （—2） （—3） 并令=0，可求得曲線拐點P的位置為 (， )，01,e=。曲線過此拐點P1，由向上凸變?yōu)橄蛳掳迹擪0，01，0b1時，由于0， 0，故0。此時，為增函數(shù)，即隨t的增大而增大。且在點P出現(xiàn)轉折，的增長率由逐漸增大變?yōu)橹饾u減小。拐點P1是投入期與成長期的轉折點P1點下左曲線為投入期，P1點上右方向曲線為成長期，當?shù)竭_K點(這是因為根據經濟學四舍五入原理)則達到成熟期頂點。整個成熟期可分為成熟前期和成熟后期，它是以=K點所對應的點值177。（=1，2，3），的取值應視整個產品生命周期的時間長短而選定。若生命周期短，在1年以下(如幾個月)，則選=1；若周期為中(1年至5年)則應選=2；若周期5年屬于長周期，則應選=3。當=0時， =Ka即為P0點,此點為投入期的原點。當→時，由于→∞，→0，有→0；當→時，由于→0，→1，有→K故=0和=K都是它的漸近線。由此說明，它的圖形是一條對稱的S形曲線。為了確定模型中的參數(shù)，通常把該預測模型改寫為對數(shù)形式 （—4） 若令 ，，則上式變?yōu)? （—5）此式為一修正指數(shù)曲線預測模型，仿此模型求常數(shù)的方法，如用三段對數(shù)總和法：設r為原始數(shù)據觀察值n的1/3，若n不能被3整除，則去掉遠期的首項和第二項數(shù)據即可。 、 、 分別為觀察值總數(shù)據三等分后的各部份對數(shù)值之和?？傻胋，的計算公式： （—6） （—7） （—8）對于、求反對數(shù)可得、之值。 市場容量的預測與評價如果在產品的銷售過程中，在銷售前期記錄產品銷售量與時間的關系，就可以通過上述模型將市場容量預測出來。預測出來了市場容量，問題二才算真正得到了解決。事實上，市場容量的預測還受其他因素的影響，如消費者的購買能力，社會的發(fā)展，所以市場容量理論上是隨時間在增長的，而不是一成不變的。但是此模型還是較好地反應了產品的整個生命周期曲線和市場容量，這對企業(yè)在今后的生存與發(fā)展是非常重要的。 競爭者、廣告等因素對產品銷量的預測當今這個信息社會中，廣告在商品銷售中起著極其重要的作用。當生產者生產出一批產品后，下一步便會去思考如何更快更多地賣出產品。由于廣告的大眾性和快捷性，其在促銷活動中大受經營者的青睞。當然，經營者在利用廣告這一手段時自然要關心：廣告與產品銷售到底有何關系；同時企業(yè)生產的產品難免要受到其他同行業(yè)的競爭，在市場容量一定程度上恒定的情況下，這對企業(yè)產品的銷量造成很大的影響，所以下面本文先從產品獨家銷售和競爭銷售兩方面對廣告、競爭這兩個重要因素進行探討。 首先，做如下假設：（1）商品的銷售速度會因做廣告而增加，擔當商品在市場上趨于飽和的時，銷售速度將趨于極限值，這時，銷售速度將開始下降；（2）自然衰減是銷售速度的一種性質，商品銷售速度的變化率隨商品的銷售率的增加而減少；（3）設為時刻商品的銷售速度，表示銷售速度的上限；為衰減因子常數(shù)，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度；為t時刻的廣告水平（以費用表示）。根據上面的假設，我們建立模型 （ ）其中P為響應系數(shù)，即對的影響力，P為常數(shù)。由假設（1），當銷售進行到某個時刻時，無論怎樣做廣告，都無法阻止銷售速度的下降，故選擇如下廣告策略 （ ）其中A為常數(shù)。在[0，]時間內，設用于廣告的花費為，則，代入（ ）式，有 （ ）令 ， （ ）則有
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