傳染病的傳播及控制分析數(shù)學建模(編輯修改稿)
2025-05-04 02:13 本頁面
【文章內容簡介】 疑似患者中包括病毒攜帶者和非病毒攜帶者，病毒攜帶者會進入潛伏期，而非病毒攜帶者最終還是正常人。 設疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例為，假設時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患者人數(shù)為，則，故新增潛伏期人數(shù)為。 （3）潛伏期確診患者：因為每日潛伏期病人變?yōu)榇_診患者的數(shù)量呈指數(shù)增長，用表示這一特性。那么新增確診患者人數(shù)為，現(xiàn)在要確定，如果潛伏期天數(shù)為到，假設其變化到了一個穩(wěn)定階段，那么隨著天數(shù)的增加潛伏期的病人越來越多，其概率分布呈指數(shù)穩(wěn)步增長，則每天有概率的人變?yōu)樨i流感患者，即。所以新增患者人數(shù)：。 （4）確診患者治愈、死亡：設T為退出系統(tǒng)人數(shù)（治愈者和死亡者），如果治愈天數(shù)設為，那么天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人產(chǎn)生抗體，不再會被傳染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系統(tǒng)的人。設系統(tǒng)退出率為，則有退出人數(shù)。的求解方法與相同，即隨著天數(shù)的增加退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)也越來越多，則。故新退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述的式子可進一步得出： 所以得出以下： 控制后階段： 兩天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔離，剩下一部分未被隔離的感染者變成患者后可以接觸和感染正常人。分析控制后階段時間內，疫情的發(fā)展與變化。 （1）正常人疑似患者：控制后階段，病人開始被隔離，所以疫情發(fā)展開始變慢，并受隔離強度影響，此時病人每天接觸的正常人數(shù)目也在變小，假設病人的數(shù)目為，則疑似患者數(shù)目。又因為接觸率與隔離強度有關，也呈指數(shù)分布，所以，故新增疑似患者的數(shù)目。 （2）疑似患者潛伏期：控制后階段，疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例不會改變。假設時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患者人數(shù)為，故新增潛伏期人數(shù)為。 （3）潛伏期確診患者：潛伏期患者變?yōu)榇_診患者的過程與控制前時刻相同，所以新增患者人數(shù)。 （4）確診患者治愈者、死亡者：同樣退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)不變，則新增退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述可進一步求得出： 整理后得： 傳染病模型的求解： 控制前：通過對模型的推導，我們發(fā)現(xiàn)不能給出每個函數(shù)的解析解，因此考慮利用Matlab中的ode系列函數(shù)進行求解。首先，對傳染病模型進行標準化，再帶入?yún)?shù)，并由此建立微分方程組函數(shù)文件，隨后用ode函數(shù)對該文件進行調用，即可得到微分方程組的解向量，然后利用plot函數(shù)畫出此解向量即可得到各類人群歲時間變化的曲線圖。 控制前患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示： 圖2 控制前患者的人數(shù)隨時間的變化 由上圖可以看出控制前還未采取任何措施時，患者的人數(shù)迅速增加，類似于指數(shù)型增長曲線。這是由于在開始的兩天，患者兩天后才入院，疑似患者兩天后才被隔離缺乏。一方面，他們將病原體迅速地傳染給了健康人；另一方面，他們由于缺乏治療，無法被治愈。當時，患者的數(shù)量越來越多，增長速度越來越快?；痉蠈嶋H情況，可見模型的合理性。 控制后： （1）當隔離強度時，患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示： 圖3 控制后時患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可知，兩天后，對患者進行入院隔離，對疑似患者進行部分隔離，使得新進入潛伏期的人數(shù)在減少。因此，由于時間的延遲，患者人數(shù)的迅速增長，并在接下來的幾天內達到峰值，隨后逐漸下降最后平緩的趨于零?；颊呷藬?shù)在增長趨于緩慢的幾天后到達一個峰值。我們求得當隔離率為p=，患者人數(shù)大致在7天時到達最大值93701，在25天時基本沒有患者。 （2）改變隔離強度為時，患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示： 圖4 控制后時患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可知，當p=，即隔離強度有所下降時，患者人數(shù)在前8天屬于迅速增長趨
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