【文章內(nèi)容簡介】 續(xù)函數(shù) , 則 f 在 [ a , b] 上可積 .證 由于 f 在閉區(qū)間 [ a , b] 上 連續(xù) , 因 此在 [ a , b] 上 一致 連續(xù) .這就 是說 ,任給 ε 0 , 存在 δ 0 , 對(duì) [ a, b] 中任意兩點(diǎn) x′、x″, 只要 | x′ x″| δ, 便有f ( x′) f ( x″) ε .b a所以只要對(duì) [ a , b] 所 作 的分 割 T 滿足 ‖ T ‖ δ, 在 T 所 屬 的任 一 小區(qū) 間 Δi 上 , 就能使 f 的振幅滿足從而導(dǎo)致ωi = Mi mi = supx′, x″∈ Δi| f ( x′) f ( x″) | ① ε  ε ≤b a ,∑ωiΔxi ≤ b a∑Δ xi = ε .T T由定理 9 .2′證得 f 在 [ a , b] 上可積 .① 此 等式成 立的 證明留 作本節(jié) 習(xí)題 ( 第 5 題 ) .210 第九章 定 積 分讀者應(yīng)該注意到 , 一致連續(xù)性在本定理證明中所起的重要作用 .定理 9 .5 若 f 是區(qū)間 [ a, b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù) , 則 f 在 [ a, b]上可積 .證 不失一般性 , 這里只證明 f 在 [ a , b] 上僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的情形 , 并假 設(shè) 該間斷點(diǎn)即為端點(diǎn) b .任給 ε 0 , 取 δ′滿足 0 δ′ ε 2 ( M m) b a , 其中 M 與 m 分別為 f 在[ a , b] 上的上確界與下確界 ( 設(shè) m M , 否則 f 為常量函數(shù) , 顯然 可積 ) .記 f 在 小區(qū)間 Δ′= [ b δ′, b] 上的振幅為 ω′, 則ω′δ′ ( M m) ε 2 ( M m)= ε .2 因?yàn)?f 在 [ a , b δ′] 上連續(xù) , 由 定理 9 .3 知 f 在 [ a , b δ′] 上 可積 .再 由定 理 9 .2′( 必要性 ) , 存在對(duì) [ a , b δ′] 的某個(gè)分割 T′= {Δ1 ,Δ2 , ,Δn 1 } , 使得ε2∑ωiΔ xi .T′ 令Δn =Δ′, 則 T = {Δ1 ,Δ2 , , Δn 1 ,Δn } 是對(duì) [ a , b] 的一個(gè)分割 , 對(duì)于 T , 有∑ωiΔxi = ∑ωiΔ xi + ω′δ′ε ε2 + 2 = ε .T T′根據(jù)定理 9 .2′( 充分性 ) , 證得 f 在 [ a , b] 上可積 .定理 9 .6 若 f 是 [ a , b] 上的單調(diào)函數(shù) , 則 f 在 [ a , b] 上可積 .證 設(shè) f 為增函數(shù) , 且 f ( a ) f ( b) ( 若 f ( a ) = f ( b) , 則 f 為常量 函數(shù) , 顯 然可積 ) .對(duì) [ a , b] 的任一分割 T , 由 f 的增 性 , f 在 T 所屬的 每個(gè) 小區(qū) 間 Δi 上 的振幅為ωi = f ( xi ) f ( xi 1 ) ,于是有n∑ωiΔxi ≤ ∑ [ f ( xi ) f ( xi 1 ) ] ‖ T‖T i = 1= [ f ( b) f ( a) ] ‖ T‖ .由此可見 , 任給 ε 0 , 只要‖ T‖ ε , 這時(shí)就有f ( b) f ( a )∑ωiΔ xi ε,T所以 f 在 [ a , b] 上可積 .注意 , 單調(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn) , 仍不失其可積性 .例 2 試用兩種方法證明函數(shù)0 , x = 0 ,f ( x) = 1n , 1 n + 1 x ≤ 1n , n = 1 , 2 ,167。3 可 積 條 件211在區(qū)間 [0 , 1 ] 上可積 .證 [ 證法一 ] 由 于 f 是 一增函數(shù) ( 圖 9 8) ,雖然它在 [0 , 1 ] 上有無限多個(gè)間斷點(diǎn) xn = 1 , n = 2 ,n3 , , 但由定理 9 .5 , 仍保證它在 [0 , 1] 上可積 .[ 證法二 ] ( 僅利用定理 9 .2′和定理 9 .4 ) 任給ε 0 , 由于 lim 1 = 0 , 因此當(dāng) n 充分大時(shí) 1 ε, 這n → ∞ n n 2說明 f 在 ε, 1 上 只 有 有 限 個(gè) 間 斷 點(diǎn) .利 用 定 理29 .4 和定理 9 .2′推知 f 在 ε, 1 上可 積 , 且存 在對(duì)2圖 9 8ε2 , 1 的某一分割 T′, 使得ε2∑ωiΔ xi .T′再把小區(qū)間 0 , ε2與 T′合并 , 成為對(duì) [ 0 , 1 ] 的一 個(gè)分 割 T .由于 f 在 0 , ε 上2的振幅 ω0 1 , 因此得到ε ε ε∑ωiΔ xi = ω0 2 + ∑ωiΔ xi 2 + 2 = ε .T T′所以 f 在 [0 , 1 ] 上可積 .事實(shí)上 , 例 2 的第二種證法并不限于該例中的具體函數(shù) , 更一般的命題見本 節(jié)習(xí)題第 4 題 .下面例 3 的證明思想與它可謂異曲同工 .例 3 證明黎曼函數(shù)f ( x ) = 1q , x = pq , p、q 互素 , q p ,在區(qū)間 [0 , 1 ] 上可積 , 且0 , x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 內(nèi)的無理數(shù)∫1f ( x) d x = 0 .0分析 已 知 黎曼 函 數(shù) 在 x = 0 , 1 以 及一切無理 點(diǎn)處 連續(xù) , 而 在 ( 0 , 1 ) 內(nèi) 的 一 切有理點(diǎn)處 間斷 .證 明它 在 [ 0 , 1 ] 上 可 積 的直觀構(gòu)思如下 : 如圖 9 9 所示 , 在黎 曼函數(shù)的圖象中畫一條水平直線 y = ε .在2圖 9 9此直線上方只有函數(shù)圖象中有限個(gè)點(diǎn) , 這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的自變量可被含于屬于分割 T 的有限 個(gè)小區(qū)間 中 , 當(dāng)‖ T ‖足夠 小212 第九章 定 積 分時(shí) , 這有限個(gè)小區(qū)間的總長 可為任 意小 。 而 T 中 其余 小區(qū)間 上函 數(shù) 的振 幅不 大T于ε2 , 把這兩部分相合 , 便可證得 ∑ωiΔxi ε .下面寫出這個(gè)證明 .證 任給 ε 0 , 在 [0 , 1 ] 內(nèi) 使得 1 ε的有 理 點(diǎn) p 只 有有 限個(gè) , 設(shè)它 們 為q 2 qεr1 , , rk .現(xiàn)對(duì) [ 0 , 1] 作分割 T = {Δ1 ,Δ2 , ,Δn } , 使‖ T ‖ 2 k , 并把 T 中所有小區(qū)間分為 {Δ′i | i = 1 , 2 , , m } 和 {Δ″i | i = 1 , 2 , , n m } 兩 類 .其中 {Δ′i } 為 含有 { ri | i = 1 , 2 , , k} 中點(diǎn)的 所有小區(qū) 間 , 這類小 區(qū)間的個(gè) 數(shù) m ≤ 2 k( 當(dāng)所 有 ri 恰好都是 T 的分割點(diǎn)時(shí)才有 m = 2 k) 。 而 {Δ″i } 為 T 中所 有其余不 含 { ri } 中 點(diǎn)的小區(qū)間 .由于 f 在 Δ′i 上的振幅 ω′i ≤ 12, 于是m∑ ω′iΔ x′i ≤ 1mε22Δ x′i ≤ 1 2 k‖ T‖ 。2i = 1∑i = 1ε而 f 在 Δ″i 上的振幅 ω″i ≤ 2 , 于是n mn mε ε∑ω″iΔ x″i ≤i = 1把這兩部分合起來 , 便證得∑Δ x″i .22i = 1n m n m∑ωiΔxi = ∑ω′iΔx′i + ∑ω″iΔx″i ε,i = 1即 f 在 [0 , 1 ] 上可積 .i = 1i = 1因?yàn)橐呀?jīng)證得 f 在 [0 , 1 ] 上可積 , 所 以當(dāng)取 ξi 全為無 理點(diǎn)時(shí) , 使 f (ξi ) = 0 ,從而1n∫ f ( x) d x = lim ∑ f (ξi )Δ xi = 0 .0 ‖ T ‖ → 0 i = 1習(xí) 題1 . 證明: 若 T′是 T 增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割 , 則 ∑ω′iΔx′i ≤ ∑ωiΔ xi .T′ T2 . 證明: 若 f 在 [ a , b]上可積 , [α,β] 204。 [ a , b] , 則 f 在[α,β]上也可積 .3 . 設(shè) f、g 均為定義在[ a, b]上的有界函數(shù) .證明:若僅在[ a, b]中有限個(gè)點(diǎn)處 f ( x)≠ g( x) ,b b則當(dāng) f 在[ a , b] 上可積時(shí) , g 在[ a , b] 上也可積 , 且∫f ( x) d x =∫g( x )d x .a a4 . 設(shè) f 在[ a , b] 上有界 , { an } 204。 [ a , b] , lim an = c .證明 :若 f 在 [ a , b] 上只有 an ( n = 1 ,n→ ∞2 , ) 為其間斷點(diǎn) , 則 f 在 [ a , b] 上可積 .5 . 證明: 若 f 在區(qū)間 Δ上有界 , 則supx∈Δf ( x ) infx∈Δf ( x ) = supx′, x″∈Δ| f ( x′) f ( x″) | .167。4 定積分的性質(zhì)213167。4 定積分的性質(zhì) 一 定積分的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 若 f 在 [ a , b] 上可積 , k 為常數(shù) , 則 k f 在 [ a , b] 上也可積 , 且∫ ∫bk f ( x ) d x = ka 證 當(dāng) k = 0 時(shí)結(jié)論顯然成立 .當(dāng) k≠0 時(shí) , 由于nbf ( x) d x . ( 1)an∑ k f (ξi )Δ xi kJ = | k | ∑f (ξi )Δ xi J ,i = 1∫bi = 1其中 J = f ( x ) d x , 因此當(dāng) f 在 [ a , b] 上可積時(shí) , 由定義 , 任給 ε 0 , 存在 δ a0 , 當(dāng) ‖ T‖ δ時(shí) ,n∑i = 1從而f (ξi )Δ xi J  ε| k | ,即 k f 在 [ a , b] 上可積 , 且bn∑i = 1kf (ξi )Δxi kJ ε .ba∫kf ( x ) d x = kJ = ∫kf ( x) d x .a 性質(zhì) 2 若 f 、g 都在 [ a , b] 上可積 , 則 f 177。 g 在 [ a , b] 上也可積 , 且b b b∫[ f ( x ) 177。 g( x ) ] d x =∫f ( x) d x 177?！襣( x ) d x . ( 2)a a a 證明與性質(zhì) 1 類同 , 留給讀者 .性質(zhì) 1 與性質(zhì) 2 是定積分的線性性質(zhì) , 合起來即為ba∫[αf ( x ) + βg ( x ) ] d x = ∫α其中 α、β為常數(shù) .b∫f ( x) d x + βabg( x )d x ,a性質(zhì) 3 若 f 、g 都在 [ a , b] 上可積 , 則 fg 在 [ a, b] 上也可積 .證 由 f 、g 都在 [ a , b] 上可積 , 從而都有界 , 設(shè)A = supx ∈ [ a , b]f ( x ) , B = supx ∈ [ a , b]g( x) ,且 A 0 , B 0 ( 否則 f 、g 中 至少有 一個(gè) 恒為零 值函 數(shù) , 于是 fg 亦為 零值 函 數(shù) , 結(jié)論顯然成立 ) .任給 ε 0 , 由 f 、g 可積 , 必分別存在分割 T′、T″, 使得214 第九章 定 積 分∑∑ωf ε εiiΔ xi T′, ωgΔxi2 B T″ 2 A .令 T = T′+ T″( 表示把 T′、T″的所有分割點(diǎn)合并而成的一個(gè)新的分割 T) .對(duì)于 [ a , b] 上 T 所屬的每一