不同進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換方法之?dāng)?shù)學(xué)原理畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-01 02:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 二進(jìn)制數(shù)。重復(fù)除以2 得商 取余數(shù)123247。2 61 1 最低位61247。2 30 130247。2 15 015247。2 7 17247。2 3 13247。2 1 11247。2 0 1 最高位由此，我們還原一下重復(fù)相除的過程即：。顯而易見，取余法實質(zhì)就是按權(quán)展開法的逆運(yùn)算。而為什么第一次除得的余數(shù)為最低位，而最后一次除得的位數(shù)為最高位呢？我們來分析這一過程：，我們將此冪的形式變換，我們提出公因子2，最后一項保留即：，由此我們看出第一次將123除以2余數(shù)為1商為，就是上式中括號里的部分，而余數(shù)1恰好是最后一位，同理我們再提出公因子2，即：。第二次除2得到的余數(shù)還是1，這就是倒數(shù)第二位，商。以此類推，最后一次余數(shù)為1是最高位。對于一個二進(jìn)制數(shù)，設(shè)其為：，即。根據(jù)前面的推導(dǎo)，我們得出取余法實質(zhì)是將其表示成如下形式：。而對應(yīng)其二進(jìn)制數(shù)的最高位，對應(yīng)其二進(jìn)制數(shù)的最低位。以此類推，余數(shù)從最低位開始，直至得出所轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)。然而，當(dāng)所要轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制數(shù)較大時，取余法就變的很繁瑣，計算起來非常的麻煩，對于較大的十進(jìn)制數(shù)有無快速轉(zhuǎn)換的計算方法呢？就是下面要提到的“減權(quán)定位法”[2]。例如將十進(jìn)制數(shù)5148轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù) 位權(quán) 轉(zhuǎn)換后的結(jié)果 5148 4096 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1052 1024 2816 12 8 4 4 0于是有，減權(quán)定位法大大減少了重復(fù)相除的次數(shù)，不難看出，首先減去一個能夠減去的最大2的冪，那么轉(zhuǎn)換后二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)也同時確定，為12+1=13位。，每位只有0、1兩種可能。以后依次減去能減去的最大的2的冪，同時上商1，其余沒有減去的位權(quán)均上商0，就得到所有轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)。減權(quán)定位法縮短了計算步驟，在重復(fù)相除的過程中將余數(shù)為0的位數(shù)除法略去，從而一步到位，另外通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)減權(quán)定位法其實是將十進(jìn)制數(shù)5148表示成了2的方冪和。即：，我們略去2的冪系數(shù)為0的項，再轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時從最高位起取其系數(shù)就得到所要轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)。對比發(fā)現(xiàn)這個過程就是按權(quán)展開法運(yùn)算過程的逆。對比取余法和減權(quán)定位法，前者是逆運(yùn)算，后者是運(yùn)算過程的逆，顯然減權(quán)定位法要比取余法更方便。在二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)時，我們討論過小數(shù)的轉(zhuǎn)換，那么十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時，小數(shù)又該如何轉(zhuǎn)換呢？看下面一個例子：。采取重復(fù)相乘法。重復(fù)乘以2 得小數(shù)部分 取整數(shù)2 1 最高位2 02 12 1 最低位所以，在二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制時，小數(shù)部分采用的是基值重復(fù)相除法，那么小數(shù)的十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時就必然是重復(fù)相乘。這樣就符合了轉(zhuǎn)換為基值重復(fù)相乘的逆運(yùn)算。同樣我們也可以用減權(quán)定位法來計算，我們直接將其表示成2的方冪和的形式即：，同樣取2的冪的系數(shù)。，在經(jīng)過有限次重復(fù)相乘后剛好得到整數(shù)1，那么是否任何一個十進(jìn)制的小數(shù)都能轉(zhuǎn)化為一個有限的二進(jìn)制小數(shù)呢？顯然不能，按減權(quán)定位法，得到：，我們無法將其表示成有限個2的冪相加。在二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)時我們并未遇到此類問題，那么什么樣的十進(jìn)制小數(shù)才能轉(zhuǎn)化為有限位的二進(jìn)制小數(shù)呢？，我們將其表示成分?jǐn)?shù)的形式。即，觀察分母為，分子為11,11轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為，這是不是某種巧合呢？進(jìn)一步分析，我們在表示十進(jìn)制小數(shù)時同時可以將其表示成相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，例如，由于分母為10的4次冪，那么小數(shù)必定有四位，即6875。我們再來看約去公因數(shù)后的最簡分式：，分母為2的4次冪，同樣，轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)時小數(shù)也為四位，而分母11
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